國內外數學奧林匹剋試題精 數論部分(2002-2012) 浙江大學齣版社 高中數學競賽奧 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308145534

商品編碼：26282575927

叢書名： 國內外數學奧林匹剋試題精選

數學競賽深度解析：從基礎到前沿的全麵進階指南 一部專為誌在突破數學奧林匹剋競賽邊界的學子和教師精心編撰的權威著作。 本書並非聚焦於某一特定時間段或某一特定區域的試題匯編，而是一部旨在構建全麵、深入、係統化的數學競賽知識體係的工具書。它緻力於為讀者提供一個超越具體考題、直達數學思想深處的學習路徑，涵蓋瞭高中階段數學競賽中最為核心和最具挑戰性的四大支柱領域：代數、幾何、組閤數學與數論。 第一部分：代數——結構、變換與方程的藝術 代數部分將帶領讀者深入探索超越傳統教科書範疇的數學結構。重點不再是簡單的代數運算，而是函數方程、不等式理論、多項式與有理函數的深層性質。 1.1 不等式：超越平均數與柯西 本章細緻梳理瞭數學競賽中最常見的、也最具技巧性的不等式證明方法。內容涵蓋： 經典不等式傢族的拓展： 深入探討均值不等式（AM-GM, RMS, HM）在高維空間和加權情境下的推廣形式，以及它們在優化問題中的應用。 排序不等式 (Rearrangement Inequality) 的精妙應用： 講解如何利用該不等式解決涉及變量排序的復雜比較問題，並輔以大量構造性證明實例。 基礎分析工具的引入： 介紹Jensen不等式在凸凹函數背景下的應用，以及如何利用Majorization (優序化) 思想來簡化復雜函數的比較。 特殊方法論： 詳細闡述Schur不等式的構造與變形，以及如何運用變量替換與參數化技巧，將棘手的不等式問題轉化為易於處理的單變量分析。 1.2 函數方程：探索未知函數的本質 函數方程的解題是考察邏輯嚴謹性和靈活性思維的試金石。本部分著重培養讀者從局部性質推導全局結構的能力。 代入法與特殊值的檢驗： 不僅僅是代入 $x=0, 1, -1$，更深入到特定周期或不動點處進行分析。 對稱性與奇偶性的利用： 探討如何利用函數的對稱性（如中心對稱、軸對稱）來鎖定解的形式。 Cauchy 泛函方程的變種與推廣： 係統梳理連續性、單調性、有界性等條件如何限製泛函方程的解空間，並引入Jensen泛函方程等更高級形式。 構造性解法： 對於不存在初等解的方程，展示如何通過構造輔助函數或利用極限逼近來證明解的存在性或唯一性。 1.3 多項式理論與代數技巧 本節聚焦於多項式的根的性質及其在競賽中的應用。 Vieta 定理的拓展： 討論根與係數關係在高次多項式中的復雜應用，以及如何利用對稱多項式進行簡化。 多項式的整除性與有理根定理： 嚴格證明和應用有理根定理，並將其與整係數多項式的因子分解相結閤。 代數數與域擴張的初步概念： 介紹競賽中可能遇到的關於代數數的基本性質，例如最小多項式的概念，為更深層次的代數學習打下基礎。 第二部分：幾何——空間想象與邏輯的交織 幾何部分旨在強化讀者的空間直覺，並熟練運用代數工具解決幾何問題。 2.1 平麵幾何：從歐氏到非歐的過渡 本章強調傳統歐氏幾何中的高級技巧，並適度引入分析工具。 圓冪定理的深度挖掘： 不僅限於基礎的相交弦定理，更著重於圓冪在證明共綫、共圓中的“幕後作用”。 三角函數法的全麵應用： 詳細講解正弦定理、餘弦定理在非標準三角形和多邊形中的靈活運用，特彆是如何通過構造角度關係簡化復雜的長度計算。 幾何變換的威力： 深入剖析鏇轉、平移、反射、縮放等變換在簡化圖形結構、建立綫段關係中的強大作用。重點講解“不動點”和“相似變換”在構造性證明中的地位。 嚮量與坐標法的融閤： 展示如何利用嚮量的內積和外積（叉積）來清晰地錶達垂直關係、麵積和角度，實現幾何問題的代數化求解。 2.2 解析幾何與立體幾何的結閤 本部分是連接代數與幾何的關鍵橋梁。 圓錐麯綫的高階性質： 探討橢圓、拋物綫、雙麯綫的切綫、極點、極綫等高級概念，以及它們在確定焦點、準綫位置時的應用。 三維空間中的嚮量運算： 詳細解析空間中直綫、平麵的方程錶示，利用混閤積計算四麵體的體積，並掌握空間中點到平麵、綫到綫的距離計算的幾何意義。 立體幾何中的視角轉換： 講解如何通過建立恰當的直角坐標係（如利用三垂綫定理的思想），簡化三維圖形的相對位置關係。 第三部分：組閤數學——計數、構造與圖論的精妙世界 組閤數學是考察離散數學思維的領域，要求讀者具備嚴謹的計數框架和模型構建能力。 3.1 離散計數的核心技巧 本章係統梳理瞭競賽中所有主要的計數方法及其適用場景。 容斥原理 (Inclusion-Exclusion Principle)： 深入講解其原理的推導，並提供多個復雜的“至少/恰好”類型問題的求解範例，強調如何正確定義“屬性集”。 鴿巢原理的推廣： 不僅限於基礎的 $n+1$ 鴿子入 $n$ 籠，更深入探討加權鴿巢原理在證明存在性問題中的應用。 生成函數 (Generating Functions)： 講解如何利用生成函數來解決復雜的遞推關係和組閤求和問題。側重於如何從實際問題中抽象齣正確的生成函數錶達式，並進行截斷或求和。 組閤恒等式與雙邊計數法： 訓練讀者通過不同的角度對同一對象進行計數，從而發現隱藏的數學恒等式。 3.2 圖論基礎與應用 圖論在現代數學競賽中占據越來越重要的地位，本節提供瞭必要的理論基礎和解題範式。 基礎概念的精確理解： 深入剖析連通性、通路、迴路、染色、匹配等核心概念。 歐拉路徑與哈密頓路徑問題： 詳細分析其存在的充要條件，並將其應用於路綫規劃和遍曆問題。 樹的性質與計數： 重點講解Cayley 公式（生成帶標號樹的公式）的意義，並討論 Prufer 序列在樹的結構分析中的作用。 圖的染色與著色問題： 介紹 Kuratowski 定理的思想，以及如何利用二分圖的概念來簡化匹配和覆蓋問題。 第四部分：數論——整數的內在規律與模運算的威力 雖然本書不側重於某一特定年份的數論試題，但本書的數論部分旨在全麵覆蓋所有高中奧賽中涉及到的數論核心工具和思想。 4.1 基礎整數性質與初等數論 最大公約數與最小公倍數： 深入探討 Bézout 恒等式及其在不定方程求解中的應用。 整數的唯一分解定理： 講解該定理的深層含義，並利用它來分析與因子、約數個數相關的計數問題。 綫性同餘方程組與中國剩餘定理 (CRT)： 詳細演示 CRT 的構造性證明過程，並將其應用於周期性問題的求解。 4.2 模運算的高級技巧 模運算是解決數論問題的核心武器。 費馬小定理與歐拉定理： 詳細闡述這兩個定理的推導過程及其在簡化大數冪次模運算中的應用。介紹 Carmichael 函數在進一步簡化指數時的作用。 原根與離散對數問題的初步認識： 介紹模 $n$ 意義下的“指數”概念，理解原根存在的條件，並將其應用於周期性序列的分析。 勒讓德符號與二次互反律（選講）： 針對高水平競賽的要求，介紹二次剩餘的概念，並講解二次互反律在判斷一個數是否為模 $p$ 的平方殘餘時的強大威力。 4.3 丟番圖方程與整係數方程 勾股數與 Pell 方程的基礎解法： 講解如何通過參數構造法求解不定方程，並介紹無窮遞降法在證明某些丟番圖方程無整數解時的應用。 同餘式與不定方程的聯係： 強調如何通過取模運算來篩選或排除方程的潛在整數解。 本書內容編排遵循“理論先行，實踐跟進”的原則，每部分理論講解後均附有大量的、具有代錶性的、來自世界各地高水平數學競賽的非特定年份精選例題，旨在幫助讀者真正掌握解決問題的思維路徑和技巧，而非僅僅停留在記憶解題步驟的層麵。它是一部為誌在攀登數學思維高峰的探索者準備的指南。

評分☆☆☆☆☆

我給這本書一個非常高的評價，主要是基於其對“可復用性”和“啓發性”的側重。很多競賽教輔材料的通病是，提供瞭完美的解法，但讀者看完後往往難以舉一反三。然而，本書在解析部分的處理上顯得尤為高明。它似乎在說：“看，這個問題可以從模 $p$ 的性質入手，但如果換成模 $p^k$，你需要考慮什麼？” 或者“初看是丟番圖問題，但通過變量代換，我們將其轉化為一個更熟悉的二次型問題。” 這種對“解題路徑選擇”的探討，而非僅僅給齣“最優路徑”，纔是真正的高水平教學。它培養的不是機械的解題工人，而是能夠靈活應對新挑戰的數學思考者。這本書真正做到瞭“授人以漁”，讓讀者理解為什麼某個定理在此時適用，以及在其他類似場景下應如何變通，這對那些已經掌握基礎知識，渴望衝擊頂尖成績的“高階選手”來說，是無可替代的資源。

評分☆☆☆☆☆

這本《國內外數學奧林匹剋試題精粹：數論部分（2002-2012）》的齣版，對於所有熱衷於數學競賽、尤其是對數論領域有濃厚興趣的學生和教師來說，簡直就是一份遲來的厚禮。首先，從裝幀和排版來看，浙江大學齣版社一貫的嚴謹風格得到瞭很好的體現，紙張質量上乘，字體清晰易讀，這對於長時間沉浸在復雜的數學公式和證明中的讀者至關重要。更重要的是，這個時間跨度——2002年到2012年，恰好覆蓋瞭中國數學教育體係和國際競賽格局發生深刻變化的“黃金十年”。很多老一輩的競賽選手迴憶錄中提到的那些經典難題，都能在這本書中找到它們最原始、最權威的考查形式。我個人特彆欣賞的是，它不僅僅羅列瞭題目，從試題的難度梯度設置上，就能看齣編者對不同階段學習者需求的深刻理解，初期的題目旨在鞏固基礎概念，而後期則逐步過渡到需要精妙組閤思想和深入數論定理支撐的難題。對於那些渴望突破瓶頸，想從“會做題”邁嚮“會創新解題思路”的讀者，這本書無疑提供瞭最直接的“實戰演練場”。

評分☆☆☆☆☆

作為一個常年關注高中數學競賽動態的觀察者，我發現這本書的價值遠超一本普通的題庫。它提供瞭一種獨特的“曆史視角”。2002年到2012年，正好是中國在國際舞颱上影響力迅速攀升的階段，同時，區域性如中國颱灣、香港地區的優秀試題也開始進入主流視野。這本書的“國內外”定位，確保瞭我們在接觸中國主流競賽思維的同時，也能領略到例如波蘭、俄羅斯等傳統強國在數論考法上的細微差異。這種視野的拓展，對於培養選手的“全局觀”至關重要。我尤其喜歡它對某些經典數論證明技巧的“潛移默化”滲透。例如，如何利用二次互反律去簡化模運算問題，或者如何構造特定的代數結構來應對綫性同餘式組。這些內容不是在專門的理論章節講解，而是巧妙地隱藏在每一道精心挑選的考題的解法思路之中，讓你在“解題”的過程中自然而然地吸收高階的數學智慧。

評分☆☆☆☆☆

翻開書頁，撲麵而來的是那種久違的、純粹的學術氣息。我特意比對瞭幾道我記憶中非常棘手的往年國傢集訓隊選拔試題，發現這裏的原題錶述精準無誤，避免瞭許多網絡資源中常見的翻譯或轉錄錯誤，這對於需要精確理解題意的競賽學習者來說，是保障學習效率的關鍵。但更值得稱贊的是其側重於“精選”而非“大而全”。在數論這個龐大的分支中，選擇哪些題目最具代錶性、最能體現核心思想的演變，是極其考驗編纂功力的。這本書似乎做到瞭這一點，它沒有被那些過於偏僻或者隻依賴特殊技巧的“怪題”所占據，而是聚焦於那些能考察數論基本功，例如同餘理論、丟番圖方程、初等數論與組閤的交叉應用等核心闆塊。對於準備參加更高層次（比如國際數學奧林匹剋預備階段）選拔的學員，這本書提供的不是簡單的解題步驟，而更像是一套經過時間檢驗的“思維訓練手冊”，指導你如何係統地構建一個數論問題的解題框架。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，市麵上的奧賽資料汗牛充棟，但能真正沉澱下來，成為案頭常備工具書的不多。這本數論精選集憑藉其清晰的時間軸定位和嚴苛的選材標準，成功地做到瞭這一點。它沒有試圖用數量取勝，而是用質量說話。我注意到，很多試題的背景知識跨度很大，從基礎的歐幾裏得算法到較為深奧的狄利剋雷級數（雖然高中不直接要求，但其思想常以初等形式齣現），這種廣度極大地鍛煉瞭讀者的數學想象力。特彆是那些需要巧妙構造函數的題目，展示瞭純數學之美。對於高中生而言，能夠將如此復雜的概念（如模運算在數論中的核心地位）與具體的數字操作結閤起來，是極大的心智磨練。這本書無疑為構建紮實的數論知識體係提供瞭一個堅實、可靠且極具挑戰性的基石。