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方述诚，邢文训 著

图书标签:

• 优化
• 线性规划
• 凸优化
• 锥优化
• 数学规划
• 运筹学
• 算法
• 理论
• 应用
• 模型

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030381767

版次：1

商品编码：11306658

包装：平装

丛书名： 运筹与管理科学丛书17

开本：16开

出版时间：2013-08-01

用纸：胶版纸

页数：272

正文语种：中文

内容简介

　　《线性锥优化》系统地介绍了线性锥规划的相关理论、主要模型和计算方法，主要内容包括：线性锥规划简介，基础知识，很好性条件与对偶，线性锥规划理论及常见模型，非负二次函数锥规划的近似算法，应用案例和内点算法介绍等。在内容上，《线性锥优化》不仅包含了线性规划、二阶锥规划和半定规划等基本模型，还给出了非负二次函数锥规划这样更为一般的线性锥规划模型。同时，以共轭对偶理论为基础，系统地建立了线性锥规划的对偶模型，分析了原始与对偶模型的强对偶性质。《线性锥优化》的主要内容是我们研究小组近些年的工作总结，一些研究结果还非常初始，仍然具有较高的研究价值。《线性锥优化》可作为很好化相关专业研究生、高年级本科生、教师、科研人员的参考书或教材。

目录

《运筹与管理科学丛书》序
前言
符号表
第1章 引论
1.1 线性规划
1.2 Torricelli点问题
1.3 相关阵满足性问题
1.4 最大割问题
1.5 小结及相关工作

第2章 基础知识
2.1 集合、向量与空间
2.2 集合的凸性与锥
2.3 对偶集合
2.4 函数
2.5 共轭函数
2.6 可计算性问题
2.7 小结及相关工作

第3章 最优性条件与对偶
3.1 最优性条件
3.2 约束规范
3.3 Lagrange对偶
3.4 共轭对偶
3.5 线性锥优化模型及最优性
3.6 小结及相关工作

第4章 可计算线性锥优化
4.1 线性规划
4.2 二阶锥规划
4.2.1 一般形式
4.2.2 二阶锥可表示函数/集合
4.2.3 常见的二阶锥可表示函数/集合
4.2.4 凸二次约束二次规划
4.2.5 鲁棒线性规划
4.3 半定规划
4.3.1 半定规划松弛
4.3.2 秩一分解
4.3.3 随机近似方法
4.4 内点算法简介
4.5 小结及相关工作

第5章 二次函数锥规划
5.1 二次约束二次规划
5.2 二次函数锥规划
5.3 可计算松弛或限定方法
5.4 二次约束二次规划最优解的计算
5.4.1 全局最优性条件
5.4.2 可解类与算法
5.4.3 算例
5.4.4 KKT条件及全局最优性条件讨论
5.5 小结及相关工作

第6章 线性锥优化近似算法
6.1 线性化重构技术
6.2 有效冗余约束
6.2.1 □和□的情况
6.2.2 冗余约束算法及算例
6.3 椭球覆盖法
6.3.1 近似计算的基本理论
6.3.2 自适应逼近方案
6.3.3 敏感点与自适应逼近算法
6.3.4 算法与应用
6.4 二阶锥覆盖法
6.4.1 二阶锥的线性矩阵不等式表示
6.4.2 二阶锥覆盖的构造
6.4.3 二阶锥覆盖在协正规划中的应用
6.5 小结及相关工作

第7章 应用案例
7.1 线性方程组的近似解
7.2 投资管理问题
7.3 单变量多项式优化
7.4 鲁棒优化
7.5 协正锥的判定
7.6 小结
附录 CVX使用简介
A.1 使用环境和典型命令
A.2 可计算凸优化规则及核心函数库
A.3 参数控制及核心函数的扩展
A.4 小结
参考文献
索引
《运筹与管理科学丛书》已出版书目

前言/序言

《线性锥优化》：理论、方法与前沿探索 《线性锥优化》一书深入剖析了线性锥优化的理论基础、核心算法及其在各个领域的广泛应用。本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，理解这一强大数学工具如何解决复杂决策问题。 第一章：优化问题的基石——凸集与凸函数 在深入探讨线性锥优化之前，本书首先奠定了必要的理论基础，详细阐述了凸集和凸函数的概念。 凸集 (Convex Sets): 我们首先定义了凸集，并介绍了其重要的性质，例如凸集的交集、伸缩、平移等运算仍然保持凸性。本书将介绍多种常见的凸集，如超平面、半空间、球体、多面体以及它们的组合，并讨论如何通过代数和几何的方法来刻画和判断一个集合是否为凸集。例如，通过研究集合内任意两点之间的连线是否完全包含于集合内部来验证其凸性。此外，本书还将探讨凸集的支撑函数、外法线锥等重要概念，这些概念在后续的理论推导中至关重要。 凸函数 (Convex Functions): 紧接着，我们转向凸函数的定义，即满足詹森不等式的函数。本书将详细介绍凸函数的判定方法，包括二阶导数检验（对于光滑函数）、姑母差不等式检验（对于任意函数）以及通过已知凸函数的组合（如和、最大值、复合）构造新的凸函数。我们将列举一系列重要的凸函数，如线性函数、二次函数、范数函数、指数函数、对数函数等，并分析它们各自的性质。本书还将深入探讨凸函数的连续性、可微性、次梯度等概念，为理解更复杂的优化问题铺平道路。 凸优化问题 (Convex Optimization Problems): 在掌握了凸集和凸函数的概念后，本书将引出凸优化问题的定义：在凸集上最小化（或最大化）一个凸函数。我们将阐述凸优化问题的核心特征——局部最优解即全局最优解。本书还将介绍凸优化问题的几种标准形式，如无约束凸优化、等式约束凸优化、不等式约束凸优化，并为每种形式提供相应的数学表达。通过这些基本概念的引入，读者将对优化问题的基本结构和凸优化问题的重要特性有一个初步的认识，为后续章节更复杂的理论和算法打下坚实的基础。 第二章：线性锥优化的核心——锥、凸锥与广义凸锥 本章是理解线性锥优化的关键，我们将聚焦于“锥”这一核心概念，并在此基础上引入凸锥和更广泛的广义凸锥。 锥 (Cones): 我们从最基本的定义出发，阐述锥的代数和几何意义。一个集合C如果满足对于任意的λ ≥ 0和x ∈ C，都有λx ∈ C，则称C为锥。本书将通过大量的图示和例子，帮助读者直观理解锥的形状，如第一象限、上半空间、以及更一般的凸锥。我们将讨论锥的性质，例如零向量必定属于任何锥，以及锥的平移、伸缩和交集运算对锥的影响。 凸锥 (Convex Cones): 在此基础上，我们引入凸锥的概念。一个凸锥既是锥，同时也是凸集。本书将详细分析凸锥的特性，例如它们的封闭性（闭凸锥）、极端点、以及如何通过向量生成来刻画凸锥。我们将重点介绍几个在优化领域具有重要意义的凸锥，如非负象限（L$), 二次锥（Second-order Cones, SOC），以及半正定锥（Positive Semidefinite Cones, PSD）。这些锥的结构特性决定了与之相关的锥优化问题的可行集和最优性条件。 广义凸锥 (Generalized Convex Cones): 为了处理更广泛的问题，本书还将探讨广义凸锥的概念。我们将介绍一些非凸但具有特定性质的锥，并讨论如何将其引入到优化框架中。这部分内容将为读者打开新的视野，理解如何处理一些传统凸优化方法难以直接解决的问题。我们将通过具体的例子，如某些特殊结构的非凸锥，来展示其在特定应用场景下的潜力。 对偶锥 (Dual Cones): 对偶锥的概念是理解最优性条件和对偶理论的基础。本书将详细定义对偶锥C，即所有与C中任意向量点积非负的向量组成的集合。我们将推导对偶锥的性质，例如(C) = C（如果C是闭凸锥）、(C1 ∩ C2) = C1 + C2。我们将展示如何计算常见凸锥的对偶锥，例如非负象限的对偶锥仍是非负象限，二次锥的对偶锥仍是二次锥，而半正定锥的对偶锥仍是半正定锥。对偶锥在KKT条件推导和对偶规划的构建中扮演着至关重要的角色。 第三章：线性锥优化的数学模型与最优性条件 本章将正式引入线性锥优化的数学形式，并深入探讨其最优性条件。 线性锥优化问题的标准形式: 我们将定义线性锥优化问题（Linear Conic Optimization, LCO）的标准形式，即最小化一个线性函数，约束条件为变量属于一个凸锥，并可能带有线性等式约束。例如： minimize c^T x subject to Ax = b x ∈ K 其中 x 是决策变量，c 是目标函数系数向量，A 是约束矩阵，b 是约束向量，K 是一个凸锥。本书将介绍不同类型的线性锥优化问题，如线性规划（LP，当K为非负象限）、二阶锥规划（SOCP，当K为二次锥）以及半正定规划（SDP，当K为半正定锥）。 可行集与最优值: 我们将分析线性锥优化问题的可行集（feasible set）的结构，并探讨其与凸锥 K 的关系。本书将讨论可行集的性质，如空集、单点集、有界集和无界集。同时，我们将定义线性锥优化问题的最优值（optimal value）及其存在条件。 最优性条件 (Optimality Conditions): 这是本章的核心内容。我们将详细推导和阐述线性锥优化问题的最优性条件。 弱最优性条件 (Weak Optimality Conditions): 对于一个给定的可行解 x，满足什么条件可以初步判断它是否为最优解。 强最优性条件 (Strong Optimality Conditions): 引入对偶变量，推导出与KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）相对应的强最优性条件。我们将详细解释对偶变量的几何意义，并展示它们如何通过引入对偶锥来刻画最优性。例如，对于无等式约束的线性锥优化问题 minimize c^T x subject to x ∈ K，其最优性条件为 c ∈ K 且 c^T x = 0（称为互补松弛性）。对于带有等式约束的问题，我们将推导完整的KKT条件，包括原始可行性、对偶可行性、以及互补松弛性。 对偶问题 (Dual Problems): 掌握了对偶锥的概念后，我们将构建线性锥优化问题的对偶问题。本书将展示如何从原始问题推导出其对偶问题，并证明弱对偶性（原始目标值总是大于等于对偶目标值）和强对偶性（在一定条件下，原始最优值等于对偶最优值）。对偶问题不仅提供了另一种求解思路，更是理解问题稳定性和敏感性分析的关键。 第四章：核心算法——内点法及其变种 本章将聚焦于解决线性锥优化问题的强大算法——内点法（Interior-Point Methods）。 内点法的基本思想: 内点法是一类迭代算法，它从可行域的内部出发，沿着一个指示方向（通常是向最优解靠近且尽量远离边界的方向）进行搜索，逐步逼近最优解。其核心在于利用障碍函数（barrier functions）将约束问题转化为无约束（或等式约束）问题，并在迭代过程中保持变量在可行域的内部。 中心路径 (Central Path): 本书将详细介绍中心路径的概念。对于线性锥优化问题，中心路径是指满足特定条件（通常是内点法的迭代点在平衡点的附近）的一系列点组成的路径。沿着中心路径前进是内点法设计的重要指导思想。 障碍函数与屏障参数: 我们将讨论如何为不同类型的凸锥选择合适的障碍函数（如对数障碍函数），并阐述屏障参数（barrier parameter）在内点法中的作用。屏障参数控制着迭代过程中对边界的“排斥”程度，通过减小屏障参数，算法逐渐趋近于最优解。 步长计算与更新: 内点法的关键在于如何计算合适的步长，以保证迭代点始终在可行域内部，并能有效向最优解方向移动。本书将介绍步长计算的常用方法，如最大步长（max step）和自适应步长（adaptive step），以及如何根据牛顿方程更新决策变量和对偶变量。 信赖域方法 (Trust Region Methods) 与线搜索方法 (Line Search Methods): 在步长选择和迭代更新的策略上，本书将介绍内点法中常用的信赖域方法和线搜索方法，并分析它们各自的优缺点。 针对不同问题的内点法变种: 线性规划 (LP) 的内点法: 介绍经典的LP内点法，如Padilla-Nesterov (PN)法、Karmarkar法等。 二阶锥规划 (SOCP) 的内点法: 阐述如何为二次锥设计障碍函数和迭代方向，以及其在工程优化中的应用。 半正定规划 (SDP) 的内点法: 重点介绍如何处理半正定锥，包括Christoffel-Nesterov (CN)法等，并讨论其在控制理论、组合优化等领域的应用。 算法的收敛性与效率分析: 本书将对内点法的收敛性进行理论分析，包括多项式时间复杂度（polynomial-time complexity）的证明，并讨论其在实际应用中的效率和收敛速度。 第五章：求解器与实现 本章将介绍实际的求解器和实现技术，使读者能够将理论知识应用于实际问题。 主流线性锥优化求解器介绍: 通用求解器: 介绍如MOSEK, GUROBI, CPLEX等商业求解器，以及ECOS, SCS, CVXPY (Python接口) 等开源求解器。 特定问题求解器: 提及一些针对特定问题的求解器，如SDPA (SemiDefinite Programming Algorithm) 等。 求解器的工作原理概述: 简要介绍这些求解器内部算法的实现方式，如它们通常基于内点法，并采用了各种优化技术来提高效率和鲁棒性。 建模语言与接口: 讲解如何使用建模语言（如AMPL, GAMS, CVXPY, YALMIP）来描述和定义线性锥优化问题，以及如何通过API接口将模型传递给求解器。 实例演示与代码实现: 提供实际的编程示例，演示如何使用Python (通过CVXPY或Pyomo等库) 或MATLAB来构建和求解各种类型的线性锥优化问题。示例将涵盖： 线性规划 (LP): 如资源分配问题、生产调度问题。 二阶锥规划 (SOCP): 如鲁棒优化、投资组合优化、信号处理中的问题。 半正定规划 (SDP): 如控制系统设计、组合优化中的松弛问题、量子信息理论。 数值稳定性与精度问题: 讨论在实际求解过程中可能遇到的数值稳定性问题，如病态问题、精度损失等，以及相应的处理策略。 第六章：线性锥优化的应用领域 本章将展示线性锥优化在各个领域的广泛应用，并通过具体案例进行阐述。 金融工程 (Financial Engineering): 投资组合优化 (Portfolio Optimization): 利用线性规划、二阶锥规划和半正定规划来构建风险最小化或收益最大化的投资组合。讨论如何考虑交易成本、流动性等因素。 风险管理 (Risk Management): 使用CVaR (Conditional Value-at-Risk) 等度量来量化和管理投资风险。 控制理论 (Control Theory): 线性矩阵不等式 (Linear Matrix Inequalities, LMI) 和控制设计: SDP在LMI框架下的应用，如稳定性分析、控制器设计、系统辨识。 模型预测控制 (Model Predictive Control, MPC): 利用线性规划和二阶锥规划来解决MPC中的优化问题。 运筹学 (Operations Research): 供应链管理 (Supply Chain Management): 生产、库存、运输优化。 调度问题 (Scheduling Problems): 作业调度、项目调度。 网络流问题 (Network Flow Problems): 最大流、最小割、最小费用流。 机器学习与数据科学 (Machine Learning and Data Science): 支持向量机 (Support Vector Machines, SVM): SDP形式下的SVM求解。 鲁棒优化 (Robust Optimization): 在不确定性环境下进行决策，利用SOCP和SDP处理不确定集。 凸聚类 (Convex Clustering) 和图分割 (Graph Partitioning) 的松弛方法。 信号处理 (Signal Processing): 谱估计 (Spectral Estimation): 利用SDP进行高分辨率谱估计。 稀疏信号恢复 (Sparse Signal Recovery): 基于L1范数最小化等方法。 土木工程与结构优化 (Civil Engineering and Structural Optimization): 结构拓扑优化 (Structural Topology Optimization): 利用SDP求解。 建筑材料优化。 其他领域: 简要介绍在量子计算、组合优化、博弈论等领域的应用。 第七章：前沿研究与未来展望 本章将探讨线性锥优化领域的最新研究进展和未来的发展趋势。 非凸锥优化 (Non-convex Conic Optimization): 讨论如何处理由非凸锥引起的优化问题，以及相关的理论和算法研究。 大规模线性锥优化 (Large-scale Linear Conic Optimization): 介绍针对大规模问题的优化算法和技术，如分解方法、并行计算等。 随机与分布鲁棒优化 (Stochastic and Distributionally Robust Optimization): 结合概率论和统计学，处理带有随机性和分布不确定性的优化问题。 与机器学习的深度融合: 探讨如何利用凸优化的理论和工具来发展更强大的机器学习模型，以及如何利用机器学习来加速优化算法。 新的锥结构与应用: 探索新型的凸锥及其在新兴领域的应用潜力。 理论计算复杂性研究: 持续深入研究算法的理论计算复杂性，追求更高效的算法。 开源工具与社区发展: 鼓励和展望开源工具的发展，以及活跃的研究社区对推动学科进步的重要性。 本书的撰写力求严谨、清晰，并辅以丰富的数学推导和图示，旨在帮助不同背景的读者（包括高年级本科生、研究生、研究人员和工程师）系统地学习线性锥优化理论，掌握其核心算法，并能将其应用于解决实际问题。通过对理论、算法、实现和应用的全面梳理，读者将能够深刻理解线性锥优化作为一种强大且通用的优化工具的价值和潜力。

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最近在学习工作中，遇到了一些需要进行精细化决策的场景，传统的一些方法似乎显得力不从心，效率和精度都有待提升。听说“线性锥优化”这本书在这个领域有深入的探讨，所以对其产生了浓厚的兴趣。我理解优化问题在现代科学技术中扮演着至关重要的角色，而线性锥优化作为一种强大的数学框架，能够处理更加广泛和复杂的优化问题，这让我对它充满了好奇。书中提到的“对偶理论”、“内点法”等概念，听起来就充满了解决难题的潜能。我猜测，这本书的作者一定具备深厚的理论功底和丰富的实践经验，才能将如此复杂的数学体系梳理得既清晰又系统。我设想，在阅读的过程中，会逐步解锁解决那些看似棘手问题的钥匙，比如如何在一个高度不确定的环境中做出最优决策，如何最小化成本同时最大化收益，这些都是我在工作中经常需要面对的挑战。这本书会不会像一本秘籍，指导我如何运用数学的语言去“指挥”现实世界，实现事半功倍的效果？我非常期待能在其中找到答案，并从中汲取力量，去攻克工作中的一个个难关。

评分☆☆☆☆☆

作为一名刚刚接触优化领域的学生，我对“线性锥优化”这本书充满了敬畏又带着些许的憧憬。我听说这个领域是现代数学和计算机科学交叉的重要方向，而线性锥优化更是其中的核心内容之一。虽然我可能还没有完全掌握相关的基础知识，但从书名就能感受到其前沿性和权威性。我猜这本书的编写风格可能会比较严谨，注重理论的完整性和数学的严密性。可能在初期会花费不少篇幅来介绍相关的背景知识和基本概念，比如线性代数、凸分析等，为读者打下坚实的基础。我希望这本书能够循序渐进地引导我进入这个复杂的领域，而不是一上来就抛出大量高深的公式和定理。如果能有一些由浅入深、由易到难的例子，能够帮助我理解这些抽象概念的实际意义，那就更好了。我想象着，通过这本书的学习，我能够逐渐理解那些困扰我的优化问题背后的数学原理，并且能够开始尝试着用这些工具去解决一些小型的、实际的数学建模问题，为我未来的学术研究或职业发展打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计相当吸引人，整体色调是一种沉稳的蓝色，搭配上简洁有力的书名“线性锥优化”。我尤其喜欢封面上那个抽象但富有几何美感的图形，隐约能感受到书中内容的严谨与抽象。迫不及待地翻开目录，看到诸如“凸集理论”、“线性规划”、“二次规划”等章节名称，虽然我目前并非该领域的专业研究者，但仅从这些标题就能感受到其中蕴含的深邃数学思想。想象一下，通过这些工具，能够解决现实世界中如此复杂的优化问题，比如资源分配、路径规划，甚至是金融建模，这本身就充满了挑战与魅力。我猜测这本书在讲解这些概念时，一定不会仅仅停留在枯燥的公式推导，而是会穿插一些生动的例子，帮助读者从感性上理解这些抽象的数学原理。我非常期待能够通过这本书，搭建起从基础数学概念到实际应用之间的桥梁，看到这些理论如何在现实世界中落地生根，解决实际的难题。对于任何对数学建模和优化算法感兴趣的人来说，这本书无疑提供了一个极佳的起点，抑或是深化理解的绝佳工具。那种通过数学语言来描述和解决现实世界复杂现象的智慧，着实令人着迷。

评分☆☆☆☆☆

最近我一直在思考如何更高效地利用有限的资源来达成目标，在项目管理和生产调度方面，总是希望能找到更优的方案。偶然间看到了“线性锥优化”这本书，这让我眼前一亮。从书名就可以感受到，它所探讨的不仅仅是简单的线性问题，而是涉及到更广阔的“锥”的领域，这暗示着它能够处理的问题类型会更加丰富和复杂。我猜测，这本书可能会对各种实际应用场景下的优化问题进行深入剖析，比如如何在一个复杂的供应链网络中找到最低的运输成本，或者如何在众多的投资项目中选择最优的组合以实现风险和收益的最大化。如果书中能够提供一些算法的伪代码或者简化的实现思路，那对我来说将是巨大的帮助。我希望这本书能够帮助我理解，如何将现实世界中的这些纷繁复杂的问题，转化为数学模型，然后运用线性锥优化的强大工具来求解，从而做出更明智、更具效益的决策。这种将理论与实践紧密结合的能力，是我当前非常渴望获得的。

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些能够以数学的严谨性来描述和解决现实世界问题的学科非常着迷，而“线性锥优化”这个书名，恰好触动了我内心深处的这种好奇。我并非数学专业出身，但对运用逻辑和模型来分析事物充满兴趣。这本书听起来就蕴含着一套强大的解决问题的体系，能够处理比传统线性规划更广泛的问题。我猜测，作者在撰写这本书时，一定在如何清晰地阐述复杂的数学概念上下了很大功夫，力求让非专业读者也能窥见其精髓。或许书中会涉及一些几何直观的解释，帮助理解“锥”的概念在优化问题中的作用，比如它如何定义了可行域的结构，以及如何影响最优解的存在性和唯一性。我也期待，这本书能够展现出一些典型的应用案例，让我看到线性锥优化是如何在工程、经济、机器学习等领域发挥关键作用的。这种跨学科的应用潜力，正是它令人着迷之处。我希望通过这本书，能够开启我对这个领域更深层次的探索，理解数学在解决现实世界挑战中的强大力量。

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