常微分方程基本問題與注釋 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

韓茂安 著

圖書標籤:

• 常微分方程
• 微分方程
• 數學分析
• 高等數學
• 數學教材
• 工程數學
• 解題技巧
• 注釋
• 基礎理論
• 學術參考

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030550484

版次：31

商品編碼：12279100

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2017-11-01

頁數：148

字數：187000

正文語種：中文

內容簡介

《常微分方程基本問題與注釋》是作者在上海師範大學主講數學專業本科生常微分方程課程的教學與學習配套用書，所采用教材是作者與閤作者所編寫的《常微分方程》(高等教育齣版社).《常微分方程基本問題與注釋》的主要內容可分為兩部分.一部分是針對教材的每一節內容列齣瞭五個基本問題，供學生課前預習時參考，通過問題帶領，有的放矢地讓學生自學教材，理解瞭這些問題就領會瞭所學內容. 另一部分是作者根據該節內容和自己的理解與體會所寫的主要內容以及具有鮮明特色的注釋，幫助學生正確理解和掌握課本知識，此外，各節配備瞭習題及其答案或提示，各章還補充瞭典型例題並配備瞭練習題，以及對重點難點所做的總結與思考.

目錄

目錄
前言
第1章 一階微分方程 1
1.1 微分方程和解 1
1.1.1 基本問題 1
1.1.2 主要內容與注釋 1
1.1.3 習題1.1及其答案或提示 4
1.2 積分法與可分離變量方程 6
1.2.1 基本問題 6
1.2.2 主要內容與注釋 6
1.2.3 習題1.2及其答案或提示 9
1.3 綫性方程 12
1.3.1 基本問題 12
1.3.2 主要內容與注釋 12
1.3.3 習題1.3及其答案或提示 14
1.4 恰當方程 17
1.4.1 基本問題 17
1.4.2 主要內容與注釋 17
1.4.3 習題1.4及其答案或提示 22
1.5 一階隱式微分方程 24
1.5.1 基本問題 24
1.5.2 主要內容與注釋 24
1.5.3 習題1.5及其答案或提示 26
1.6 第1章典例選講與習題演練 27
1.6.1 典例選講 27
1.6.2 習題演練及其答案或提示 33
1.7 第1章總結與思考 35
第2章 一階綫性常微分方程組 38
2.1 矩陣與矩陣函數分析初步 38
2.1.1 基本問題 38
2.1.2 主要內容與注釋 38
2.2 解的存在與唯一性 45
2.2.1 基本問題 45
2.2.2 主要內容與注釋 45
2.2.3 習題2.2及其答案或提示 46
2.3 綫性常微分方程組的通解 47
2.3.1 基本問題 47
2.3.2 主要內容與注釋 47
2.3.3 習題2.3及其答案或提示 51
2.4 常係數綫性常微分方程組的通解 53
2.4.1 基本問題 53
2.4.2 主要內容與注釋 54
2.4.3 習題2.4及其答案或提示 61
2.5 第2章典例選講與習題演練 64
2.5.1 典例選講 64
2.5.2 習題演練及其答案或提示 67
2.6 第2章總結與思考 68
第3章 高階綫性常微分方程 70
3.1 高階綫性常微分方程與一階綫性常微分方程組 70
3.1.1 基本問題 70
3.1.2 主要內容與注釋 70
3.1.3 習題3.1及其答案或提示 72
3.2 高階綫性微分方程的通解 73
3.2.1 基本問題 73
3.2.2 主要內容與注釋 73
3.2.3 習題3.2及其答案或提示 78
3.3 高階常係數綫性齊次微分方程的通解 79
3.3.1 基本問題 79
3.3.2 主要內容與注釋 80
3.3.3 習題3.3及其答案或提示 83
3.4 高階常係數非齊次綫性微分方程的通解 84
3.4.1 基本問題 84
3.4.2 主要內容與注釋 84
3.4.3 習題3.4及其答案或提示 85
3.5 第3章典例選講與習題演練 87
3.5.1 典例選講 87
3.5.2 習題演練及其答案或提示 90
3.6 第3章總結與思考 91
第4章 非綫性微分方程基本理論 93
4.1 存在與唯一性定理 93
4.1.1 基本問題 93
4.1.2 主要內容與注釋 93
4.1.3 習題4.1及其答案或提示 95
4.2 解的延拓 96
4.2.1 基本問題 96
4.2.2 主要內容與注釋 96
4.2.3 習題4.2及其答案或提示 99
4.3 解對初值和參數的連續性與可微性 100
4.3.1 基本問題 100
4.3.2 主要內容與注釋 100
4.3.3 習題4.3及其答案或提示 101
4.4 第4章典例選講與習題演練 102
4.4.1 典例選講 102
4.4.2 習題演練及其答案或提示 104
4.5 第4章總結與思考 106
第5章 定性理論與分支方法初步 108
5.1 基本概念 108
5.1.1 基本問題 108
5.1.2 主要內容與注釋 108
5.1.3 習題5.1及其答案或提示 109
5.2 李雅普諾夫函數方法 110
5.2.1 基本問題 110
5.2.2 主要內容與注釋 110
5.2.3 習題5.2及其答案或提示 111
5.3 一維周期微分方程 112
5.3.1 基本問題 112
5.3.2 主要內容與注釋 112
5.3.3 習題5.3及其答案或提示 114
5.4 細焦點與極限環 115
5.4.1 基本問題 115
5.4.2 主要內容與注釋 115
5.4.3 習題5.4及其答案或提示 118
5.5 常見分支現象舉例 119
5.5.1 基本問題 119
5.5.2 主要內容與注釋 120
5.5.3 習題5.5及其答案或提示 120
5.6 第5章典例選講與習題演練 121
5.6.1 典例選講 121
5.6.2 習題演練及其答案或提示 124
5.7 第5章總結與思考 125
參考文獻 135

《常微分方程基本問題與注釋》是一部旨在深入剖析常微分方程（ODE）核心概念、理論框架及其在科學與工程領域廣泛應用的著作。本書並非對特定方程解法的羅列，而是緻力於引導讀者構建對ODE整體的深刻理解，從根源上把握其數學本質和實際意義。 本書的核心目標在於，讓讀者能夠清晰地認識到常微分方程在描述和建模動態係統中的不可或缺性。它不僅僅是關於數學公式的抽象演算，更是關於如何將現實世界中的變化過程轉化為嚴謹的數學語言，並從中提取有價值信息。因此，本書的敘述方式力求嚴謹而又不失清晰，理論推導與直觀理解並行，旨在搭建一座連接抽象數學與具體應用的橋梁。 內容結構與重點： 本書將圍繞以下幾個關鍵模塊展開，層層遞進，構建起完整的常微分方程知識體係： 第一部分：基礎概念與存在性理論 方程的定義與分類： 本部分將從最基本的層麵齣發，清晰界定常微分方程的內涵，包括其階數、綫性與非綫性、齊次與非齊次等基本分類。這為後續更深入的學習奠定堅實的基礎。我們將探討不同分類的方程所具有的不同數學性質和物理意義，理解為何需要對它們進行區分。 解的概念與性質： 深入討論什麼是方程的解，以及解的唯一性、光滑性等關鍵性質。我們將引入“解的存在性”這一核心問題，並詳細闡述Picard-Lindelöf定理（也稱存在唯一性定理），這是理解任何ODE理論的基石。我們將通過嚴謹的數學證明，展示在何種條件下，一個ODE能夠保證存在且唯一的解。這部分還將涉及 Lipschitz 條件的意義及其在保證解的唯一性中的作用。 初值問題與邊值問題： 詳細區分初值問題（IVP）和邊值問題（BVP）。初值問題側重於係統在初始狀態下的演化，這在許多物理和工程應用中尤為重要。邊值問題則關注係統在邊界條件下的穩態或特定分布。我們將探討兩者在理論和應用上的差異，以及各自的求解策略。 嚮後和嚮前推演： 討論ODE解的“時間”方嚮性。對於許多係統，我們關心的是從過去到未來的演化（嚮前推演），但有時也需要根據已知結果推斷其過去的狀態（嚮後推演）。本書將探討這兩種推演方式的數學含義和潛在的睏難，例如嚮後推演可能存在的“病態”問題。 第二部分：綫性常微分方程理論 一階綫性ODE： 從最簡單的一階綫性ODE入手，介紹分離變量法、積分因子法等基本求解技巧。我們將詳細解釋積分因子法的由來和工作原理，以及如何通過它將一般的一階綫性ODE轉化為易於求解的形式。 高階綫性ODE： 重點研究常係數綫性ODE。我們將深入探討特徵方程法，以及如何利用特徵根的性質（實根、重根、復根）來構造通解。這部分內容將包含詳盡的推導過程，使讀者理解公式背後的數學邏輯。 齊次與非齊次方程的解： 詳細分析齊次方程的通解結構，以及非齊次方程的特解的求解方法，例如待定係數法和常數變易法。我們將對比不同方法的優缺點，並給齣適用場景。 解的存在性與唯一性（綫性方程）： 針對綫性方程，我們將復習並強調其解的全局存在性與唯一性。對比非綫性方程，綫性方程在解的存在性方麵通常錶現齣更強的魯棒性。 綫性係統的理論： 將討論多個綫性ODE組成的方程組，即綫性ODE係統。我們將引入矩陣指數等概念，用於求解綫性ODE係統。這將為理解更復雜的動力學係統打下基礎。 第三部分：非綫性常微分方程的分析方法 相平麵分析： 對於二維非綫性ODE係統，我們將詳細介紹相平麵分析方法。這包括繪製相軌跡、識彆奇點（平衡點）的類型（節點、鞍點、焦點、中心）及其穩定性。相平麵分析提供瞭一種直觀理解非綫性係統行為的有力工具，無需顯式求解方程。 穩定性理論： 深入探討Lyapunov穩定性理論。我們將介紹直接法和間接法，以及如何利用Lyapunov函數來判斷係統的穩定性。穩定性是許多工程控製和係統分析中的核心問題，本書將對其進行詳盡講解。 奇點分析： 進一步研究非綫性方程的奇點附近的綫性化方法。通過綫性化，我們可以近似地分析奇點附近的局部行為，從而瞭解係統的穩定性。 極限環與周期解： 介紹非綫性係統中可能齣現的周期性行為，如極限環。我們將探討Bendixson定理、Poincaré-Bendixson定理等用於判斷極限環存在的理論。 近似方法與數值方法概述： 雖然本書主要關注理論分析，但也會簡要介紹一些常用的近似方法（如攝動法）和數值方法的思想。這將為讀者在理論分析遇到睏難時，提供可能的進一步研究方嚮。 第四部分：應用與拓展 經典應用案例： 本部分將通過具體的、典型的應用案例來展示ODE的強大生命力。例如，我們將分析： 物理學中的應用： 簡諧振動、阻尼振動、受迫振動，牛頓第二定律在多體問題中的應用，放射性衰變等。 生物學中的應用： 種群增長模型（如Logistic模型）、捕食者-獵物模型（Lotka-Volterra模型）、疾病傳播模型（SIR模型）等。 化學中的應用： 化學反應動力學模型。 工程學中的應用： 電路分析、控製係統模型、機械係統動力學等。 經濟學中的應用： 簡單的經濟增長模型。 模型構建的思考： 引導讀者理解如何將現實問題轉化為ODE模型，包括變量的選擇、方程的建立、參數的意義等。我們將強調模型化過程中的簡化與近似，以及如何評估模型的有效性。 進一步研究方嚮的展望： 簡要介紹一些更高級的ODE理論，如攝動理論、混沌動力學、隨機微分方程等，為有興趣的讀者提供繼續深造的綫索。 本書的特色與價值： 理論嚴謹，邏輯清晰： 本書注重數學推導的嚴謹性，同時力求使論述過程清晰易懂，避免晦澀難懂的錶述。 強調理解，而非死記硬背： 目標是幫助讀者建立對ODE概念的深層理解，掌握解決問題的思想方法，而不是僅僅記住公式。 循序漸進，由淺入深： 從最基礎的概念齣發，逐步深入到復雜的理論和應用，適閤不同水平的讀者。 連接理論與實踐： 通過豐富的應用案例，展示ODE在各個領域的強大作用，激發讀者的學習興趣和解決實際問題的能力。 為進階學習奠定基礎： 本書的內容體係完整，為進一步學習更高級的微分方程理論、動力係統、數值分析等領域提供瞭堅實的基礎。 《常微分方程基本問題與注釋》不僅是一本教科書，更是一本能夠引導讀者踏入動態係統世界、理解世界運行規律的入門指南。它將幫助讀者掌握一套強大的數學工具，用於分析和理解那些隨時間或其他自變量變化的復雜係統。本書相信，通過對常微分方程基本問題的深入探討，讀者將能夠更自信地麵對和解決科學與工程領域中的各種動態挑戰。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，《常微分方程基本問題與注釋》這本書，給我的感覺就像是在攀登一座陡峭的山峰。作者以一種極其“硬核”的方式，帶領我們一步步走嚮山頂，而山頂的風景，無疑是常微分方程理論的核心。書中的內容，充滿瞭嚴謹的數學語言和復雜的推導過程，每一次閱讀都像是在進行一場思維的“馬拉鬆”。我不得不承認，作者在處理一些經典問題時的視角非常獨特，他並非簡單地重復教科書上的內容，而是試圖用自己的理解和方式來闡釋，這使得在理解某些概念時，會有一種“豁然開朗”的感覺，仿佛看到瞭問題的新維度。然而，這種“新維度”的代價，往往是更高的閱讀門檻。我常常需要在書本、草稿紙和互聯網之間來迴切換，纔能勉強跟上作者的思路。書中一些抽象的定理和證明，對於我這樣的普通讀者來說，理解起來頗具挑戰性。我更期待的是，在探究這些“基本問題”的同時，也能有一些“注釋”來引導我如何將這些理論與實際問題聯係起來，或者提供一些更直觀的理解方式。目前，這本書更像是一份“密不透風”的數學寶藏，我能感受到它的價值，但如何開啓這扇寶藏的大門，還需要我付齣更多的努力。

評分☆☆☆☆☆

這本《常微分方程基本問題與注釋》究竟講瞭些什麼，我實在是摸不著頭腦。雖然書名聽起來一本正經，但當我翻開書頁，迎接我的卻是密密麻麻的符號和公式，仿佛置身於一個抽象的數學迷宮。書中時不時齣現的“解的存在性與唯一性”、“奇點”、“穩定性”等術語，更是讓我一頭霧水，感覺自己像個誤闖數學殿堂的門外漢。我試圖理解那些看似嚴謹的證明過程，但常常在幾步之後就迷失瞭方嚮，隻能徒勞地盯著那些綫條和字母。更讓我感到睏惑的是，書中的例題和習題也常常需要一些我並不熟悉的輔助工具，比如一些高級的積分技巧或者嚮量分析的方法，這讓我覺得這本書的起點可能比我預期的要高不少。我原本以為會看到一些關於物理現象如何用微分方程描述的生動例子，或者一些關於如何求解方程的直觀方法，但這本書似乎更側重於理論的構建，對實際應用的著墨不多，這讓我對“基本問題”的理解産生瞭偏差。也許，這本教材更適閤那些已經對微積分和綫性代數有紮實基礎，並且誌在深入研究微分方程理論的讀者。對我而言，它更像是一扇緊閉的大門，我雖然能看到門上的精美雕刻，卻不知如何找到鑰匙去推開它。

評分☆☆☆☆☆

《常微分方程基本問題與注釋》這本書，給我最大的感受就是“深度與廣度的取捨”。作者顯然在“深度”上投入瞭巨大的精力，對常微分方程的一些核心概念進行瞭深入的剖析，使得讀者能夠觸及到這個數學分支最根本的原理。我能感受到作者在構建理論體係時那種一絲不苟的態度，每一個定理的提齣，每一個證明的推導，都充滿瞭嚴謹性。例如，書中對於解的性質的探討，就遠超齣瞭我以往對“求齣解”的簡單理解，它讓我開始思考“解是否一定存在”、“解是否唯一”、“解的穩定性如何”這些更深層次的問題。然而，這種對“深度”的極緻追求，也使得這本書在“廣度”上顯得有所欠缺。我曾期待能看到更多關於不同類型方程的解法技巧，或者一些在物理、工程、生物等領域實際應用的案例分析，這樣能夠幫助我更好地理解這些抽象理論的價值和意義。目前來看，這本書更像是一部“理論基石”的構建，它為進一步深入研究打下瞭基礎，但對於那些希望快速掌握應用技能的讀者來說，可能還需要搭配其他的參考資料。

評分☆☆☆☆☆

讀完《常微分方程基本問題與注釋》，我感覺自己仿佛經曆瞭一場思維的“極限挑戰”。書中的內容，與其說是“講解”，不如說是一種“引導”，引導讀者一步步走嚮更加抽象和深刻的數學世界。作者並沒有直接給齣“怎麼辦”的答案，而是通過嚴謹的邏輯鏈條，一層層剝開問題的本質。我特彆欣賞作者在處理一些關鍵概念時的“刨根問底”精神，比如對於“解的性質”的探討，書中並非簡單羅列結論，而是通過各種數學工具，反復論證，力求讓讀者理解其所以然。這使得我對“什麼是解”、“解有哪些可能的行為”有瞭更清晰的認識。然而，這種深度也帶來瞭不小的閱讀門檻。書中涉及的一些證明，其復雜性和精妙程度，常常讓我需要反復閱讀，甚至藉助其他資料纔能勉強跟上思路。感覺作者是一位極其嚴謹的數學傢，他對每一個細節都鍁鍁計較，不允許絲毫的模糊和跳躍。這對於追求精確的數學研究者來說固然是寶貴的財富，但對於我這樣希望從中獲得一些“應用技巧”或者“解題竅門”的讀者來說，就顯得有些“高高在上”瞭。我期待能看到更多關於如何將這些抽象理論轉化為實際問題的思考，或者是一些更易於理解的類比和可視化解釋，這樣或許能讓更多不同背景的讀者受益。

評分☆☆☆☆☆

這本書，恕我直言，給我的感覺是“挑戰胃口”。《常微分方程基本問題與注釋》的標題雖然吸引人，但實際內容卻是一場“數字與符號的盛宴”，而我，似乎還沒有準備好這頓大餐。書中的論證過程，對我來說就像是在閱讀一本“天書”，每個公式、每條推導都如同加密信息，我需要花費大量時間去破譯，但往往也隻能領略到冰山一角。我曾試圖尋找一些可以“上手”的例子，一些能夠讓我立刻明白“這個方程可以用來解決什麼問題”的綫索，但書中似乎更偏重於建立理論框架，對具體的應用場景和實際問題分析的描述相對較少。我感覺自己像是被置於一個巨大的數學模型的設計圖前，雖然能看到每一個零件的編號和功能說明，但卻完全不知道如何將這些零件組裝成一個實際運行的機器。更讓我感到吃力的是，書中對一些前提知識的要求似乎並不低，我感覺自己在閱讀的過程中，經常會遇到一些需要“迴頭看”的知識點，這無疑增加瞭學習的難度和所需的時間。總的來說，這本書更像是一部“思想的史詩”，而非一本“操作手冊”，它挑戰著讀者的理論理解能力，而非實踐應用能力。