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易大义，陈道琦 著

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• 数值分析
• 高等教育
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• 数学
• 算法
• 科学计算
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• 理科

出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308020541

版次：1

商品编码：10647711

包装：平装

开本：32开

出版时间：1998-09-01

页数：494

正文语种：中文

内容简介

《数值分析引论》系统地介绍了科学和工程计算中近代常用的计算方法、概念及应用，着重培养学生的科学计算能力。主要内容有：插值法、函数与数据的逼近、数值积分与数值微分、解方程组的直接法、解大型稀疏线性方程组的迭代法、非线性方程（组）数值解法、常微分方程数值解法、矩阵特征值的计算方法等。
书中主要计算方法都写有算法或计算步骤，同时书内还配有较多的数值计算例子。
《数值分析引论》可作为高等理工院校研究生的计算方法教材，也可作为大学生、工程技术人员学习计算方法的参考书。

内页插图

目录

第一章 数值计算引论
1 数值分析研究对象
2 误差来源及种类
3 误差的基本概念
3.1 绝对误差和相对误差
3.2 有效数字
4 求函数值的误差估计
5 在数值计算中应注意的几个问题
习题1

第二章 插值法
1 引言
2 拉格朗日插值多项式
2.1 插值基函数
2.2 拉格朗日(Lagrange)插值多项式
2.3 插值多项式的余项
2.4 算法与例子
3 逐步线性插值法
3.1 列维尔算法
3.2 算法与例子
4 差商与牛顿插值多项式
4.1 差商(均差)及性质
4.2 牛顿插值多项式
4.3 算法与例子
5 差分，等距节点插值多项式
5.1 差分及性质
5.2 牛顿向前插值，向后插值公式
6 埃尔米特插值
7 分段插值法
7.1 高次插值的龙格(Runge)现象
7.2 分段线性插值
7.3 分段三次埃尔米特插值
8 三次样条插值
8.1 引言
8.2 三次样条插值函数的表达式
8.3 三弯矩方程
8.4 算法与例子
8.5 三次样条插值函数的收敛性
9 B样条函数及性质
9.1 半截幂函数
9.2 样条函数
9.3 B样条函数及性质
习题2

第三章 函数与数据的逼近
1 引言
2 连续函数空间，正交多项式理论
2.1 连续函数空间
2.2 正交多项式理论
3 最佳平方逼近
3.1 法方程
3.2 用多项式作最佳平方逼近
3.3 用正交多项式作最佳平方逼近
4 最小二乘逼近
4.1 一般的最小二乘逼近
4.2 算法与例子
4.3 用正交多项式作曲线拟合算法
4.4 非线性模型举例
5 用B样条作最小二乘逼近
6 近似最佳一致逼近多项式
6.1 函数展开为Chedyshev级数
6.2 拉格朗日插值余项的极小化
6.3 泰勒级数的缩减
习题3

第四章 数值积分与数值微分
1 插值型数值求积公式
1.1 一般求积公式及其代数精度
1.2 插值型求积公式
1.3 Newton-Cotes求积公式
1.4 Newton-Cotes求积公式的余项
1.5 Newton-Cotes公式的数值稳定性和收敛性
2 Gauss型求积公式
2.1 最高代数精度求积公式
2.2 Gauss点与正交多项式的联系
2.3 Gauss求积公式的余项
2.4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性
2.5 几个常用的Gauss型求积公式
2.6 低阶Gauss型求积公式构造方法
3 复化数值求积公式
3.1 复化数值求积法
3.2 复化梯形公式
3.3 复化Simpson公式
3.4 复化求积公式的收敛阶
4外推方法
4.1 外推原理
4.2 复化梯形公式余项的渐近展开
4.3 Romberg算法
4.4 外推法的进一步讨论
5自适应求积方法
5.1 自适应计算问题
5.2 自适应算法
6 奇异积分和振荡函数积分的数值方法
6.1 奇异积分计算
6.2 振荡函数积分的计算
7二元函数数值积分
7.1 矩形域上乘积型求积公式
7.2 三角形域上面积坐标积分法
§8数值微分
8.1 插值函数法
8.2 差分算子近似微分算子法
8.3 隐式方法
习题4

第五章 解线性方程组的直接法
1 引言
2 初等矩阵
2.1 初等下三角阵(高斯变换)
2.2 初等置换阵
2.3 初等反射阵(Householder变换)
2.4 平面旋转矩阵(Givens变换)
……
第六章 解大型稀疏线性方程组的迭代法
第七章 非线性方程（组）数值解法
第八章 常微分方程数值解法
第九章 矩阵特征值与特征向量计算方法
参考文献

精彩书摘

1数值分析研究对象
随着计算机技术的发展，科学技术的进步，科学与工程计算（简称科学计算）的应用范围已扩大到许多学科领域，形成一些边缘学科，例如计算物理、计算化学、计算力学等。目前，实验、理论、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。
为了解某科学与工程实际问题，首先是依据物理、力学规律建立问题的数学模型，这些模型一般为代数方程、微分方程等。科学计算的一个重要方面就是要研究解这些数学问题的数值计算方法（适合计算机计算的计算方法），然后通过计算软件在计算机上计算出实际需要的结果。数值分析内容包括：函数的插值与逼近方法，微分与积分计算方法，线性方程组与非线性方程组计算方法，常微分与偏微分数值解等。
本书将介绍数值分析的基本概念、理论及解各种数学问题的有效计算方法。

前言/序言

　　随着计算机技术的发展和科学技术的进步，科学与工程计算（简称科学计算）的应用范围已扩大到许多学科领域，已形成了一些边缘学科，例如，计算物理、计算力学、计算化学等。目前，实验、理论、计算已成为人们进行科学活动的三大方法。对从事工程与科技工作的人员，学习和掌握计算方法（数值分析）是非常必要的。
　　本书是为理工科院校工学硕士研究生学习计算方法（数值分析）而编写的。内容为数值分析的基本概念及理论，介绍科学计算中近代的、常用的、有效的解各种数学问题的计算方法，通过学习与实习培养学生的科学计算能力。
　　对于大学（本科）中未学过计算方法的读者，可选学书中未带星号部分内容，学过计算方法（简单的）读者，可选学书中部分内容（包括带星号的内容）。
　　本书每一章的主要方法都写有算法或计算步骤，可供读者学习、应用时参考。书内还配有较多的数值例子，便于读者自学。
　　学习本书需要具备微积分、线性代数、常微分方程的基础知识，本书还可作为工程技术人员学习计算方法的参考书。
　　本书第一、二、三、五、六、九章由易大义编写，第四、七、八章由陈道琦编写。
　　书中缺点和错误敬请读者批评指正。

《数值分析引论：新世纪高等院校精品教材》 导言 在现代科学技术飞速发展的浪潮中，数学作为一切科学的基石，其应用领域日益广泛。尤其是在处理复杂、抽象的数学问题时，解析方法的局限性逐渐显现。此时，数值分析便应运而生，它以其强大的计算能力和近似求解能力，为我们打开了理解和解决现实世界问题的全新视角。本书《数值分析引论：新世纪高等院校精品教材》正是这样一部旨在引领读者步入数值分析殿堂的著作。它不仅仅是对传统数值计算方法的梳理与介绍，更是对现代计算思维的启蒙，以及对解决实际工程、科研问题能力的培养。 本书的编写，紧密结合了新世纪高等教育对复合型人才的需求。我们深知，未来的科学家、工程师乃至各行各业的精英，都必须具备扎实的数学基础和出色的计算素养。因此，本书在内容选取上，既涵盖了数值分析的核心理论与经典算法，又注重其在现代科学计算中的实际应用。我们力求通过深入浅出的讲解、循序渐进的编排，帮助读者建立起对数值分析的系统认识，掌握基本计算工具，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。 全书概览 本书以“引论”为定位，旨在为读者构建一个全面而清晰的数值分析知识体系。全书共分为十五章，每一章都围绕一个核心主题展开，相互衔接，层层递进。 第一部分：基础理论与误差分析 第一章：引言与数值计算概述 本章将带领读者走进数值分析的宏大世界，阐述其产生的历史背景、核心思想以及在现代科学技术中的重要地位。我们将探讨解析方法与数值方法的区别与联系，并初步了解数值计算的一般流程和关键要素。此外，还会对数值计算软件及其在数值分析中的作用进行介绍，为后续的学习奠定基础。 第二章：误差分析 误差是数值计算中不可避免的存在，理解和控制误差是进行可靠数值计算的关键。本章将深入探讨各种误差的来源，包括截断误差、舍入误差以及它们在计算过程中的传播规律。我们将学习如何对误差进行量化分析，如何估计误差的上界，以及如何选择合适的计算精度以保证结果的准确性。本章将引入相对误差、绝对误差等概念，并分析它们对计算结果的影响。 第二部分：方程的求根 第三章：非线性方程的根 求解非线性方程是数值分析中最基础也最重要的问题之一。本章将介绍几种经典的求根算法，包括二分法、简单迭代法（包括不动点迭代）、牛顿法及其变种（如弦截法）。我们将详细分析这些方法的收敛性、收敛速度以及各自的优缺点，并探讨在实际应用中如何选择合适的算法以及设置合理的终止条件。 第四章：多项式方程的根 对于多项式方程，存在一些特殊的求解方法。本章将介绍求解多项式方程根的一些重要概念，如根的存在性、重根的判断等。我们将探讨一些针对多项式方程的数值方法，如根的隔离与逼近，以及适用于高次多项式的数值迭代法。 第三部分：线性方程组的求解 第五章：线性方程组的直接法 线性方程组的求解是科学计算中的核心问题之一。本章将介绍求解线性方程组的直接法，包括高斯消元法及其改进形式（如全主元消去法），以及LU分解法。我们将详细分析这些方法的计算量、稳定性和应用条件，并讨论它们在实际工程计算中的应用实例。 第六章：线性方程组的迭代法 当线性方程组的系数矩阵具有特殊性质时（如稀疏性、对角占优性），迭代法通常比直接法更具优势。本章将介绍几种重要的迭代法，包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法以及超松弛迭代法（SOR）。我们将深入分析这些方法的收敛条件、收敛速度，并讨论如何通过选择合适的松弛因子来加速收敛。 第四部分：插值与逼近 第七章：函数插值 在实际问题中，我们常常会遇到一些函数，其解析表达式未知，只知道在某些离散点上的函数值。函数插值就是利用这些已知数据点，构造一个函数来近似原函数。本章将介绍几种重要的插值方法，如多项式插值（拉格朗日插值、牛顿插值）和分段插值（如分段线性插值）。我们将分析这些插值方法的性质、误差以及应用场景。 第八章：最佳逼近 除了插值，我们还可以寻找一个比原函数“更接近”的函数。最佳逼近的目标是找到一个在某种度量下与原函数“误差最小”的近似函数。本章将介绍最小二乘逼近的思想，探讨如何在给定一组数据点的情况下，寻找最佳的线性逼近函数。我们将引入范数的概念，并分析最小二乘法的理论基础和实际应用。 第五部分：数值积分与微分 第九章：数值积分 计算定积分在很多应用中都至关重要。当被积函数难以解析求解，或者其表达式复杂时，数值积分方法便成为首选。本章将介绍几种常用的数值积分方法，包括梯形法则、辛普森法则以及复化公式。我们将分析这些方法的精度、误差以及适用的范围。 第十章：数值微分 计算函数在某点的导数或高阶导数，在许多科学和工程领域都扮演着重要角色。本章将介绍几种常用的数值微分方法，包括有限差分法。我们将探讨不同阶数的差分公式，分析它们的精度和误差，并讨论在实际应用中如何处理噪声数据。 第六部分：常微分方程的数值解 第十一章：单步法 求解常微分方程的初值问题是数值分析中的另一大类问题。本章将介绍几种经典的单步法，包括欧拉法（前向、后向）及其改进形式（如欧拉-康宁方法）、梯形公式以及改进的欧拉法。我们将分析这些方法的收敛性、精度和稳定性。 第十二章：多步法 多步法利用前面多个步点的信息来计算当前步的值，其效率通常高于单步法。本章将介绍两种重要的多步法：显式多步法（如亚当斯-巴斯福特法）和隐式多步法（如亚当斯-马尔顿法）。我们将深入讨论这些方法的稳定性和收敛性，并分析其与单步法的优劣。 第十三章：常微分方程组的数值解 在许多实际问题中，我们需要同时求解多个相互关联的常微分方程。本章将扩展前面介绍的单步法和多步法，讨论如何将其应用于求解常微分方程组。我们将重点关注方程组的解法和计算稳定性。 第七部分：特征值问题与现代应用 第十四章：矩阵的特征值与特征向量 矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，在许多物理、工程和统计问题中都有广泛应用。本章将介绍求解矩阵特征值和特征向量的几种常用数值方法，包括幂法、反幂法以及QR算法。我们将分析这些方法的原理、收敛性和适用范围。 第十五章：数值分析的应用与发展趋势 本章将回顾全书内容，并重点介绍数值分析在各个领域的应用，如计算物理、计算化学、金融工程、图像处理、机器学习等。我们将探讨当前数值分析领域的研究热点和发展趋势，如高精度数值方法、并行计算、机器学习与数值分析的结合等，鼓励读者在掌握基础理论的同时，关注前沿发展，培养创新能力。 教学特色与读者受益 本书在编写过程中，始终坚持以下教学特色： 1. 理论与实践并重：每一章的讲解都建立在扎实的数学理论基础上，同时紧密结合实际算例和编程实践，使读者能够“学以致用”。 2. 循序渐进，由浅入深：章节安排合理，难度逐步提升，确保不同背景的读者都能顺利掌握。 3. 概念清晰，推导严谨：数学概念的引入清晰明了，关键公式的推导过程详细严谨，便于读者理解。 4. 丰富的习题与案例：每章末都配有适量的练习题，涵盖不同难度和类型，帮助读者巩固知识。此外，书中穿插了丰富的实例，展示数值分析方法的实际应用。 5. 现代计算工具的应用：鼓励读者使用MATLAB、Python等现代编程语言实现算法，提升计算实践能力。 通过学习本书，读者将能够： 深入理解数值分析的基本概念、原理和方法。 熟练掌握求解各类数学问题的数值算法。 培养严谨的科学计算思维和分析问题、解决问题的能力。 为进一步深入学习数值计算、科学计算及相关领域打下坚实基础。 能够将所学知识应用于解决实际工程和科研问题，成为具有计算素养的复合型人才。 结语 《数值分析引论：新世纪高等院校精品教材》是一本内容丰富、结构清晰、理论与实践相结合的优秀教材。我们希望本书能够成为广大师生学习数值分析的得力助手，激发大家对计算科学的兴趣，为我国科学技术的发展贡献力量。

评分☆☆☆☆☆

作为一名即将步入科研领域的学生，我深知理论知识与实际应用之间的桥梁至关重要。这本书在这一点上为我提供了极大的帮助。它并没有仅仅停留在理论的讲解，而是融入了大量的计算示例和实例分析，这些例子往往来源于一些经典的工程问题或科学研究，让我们能够直观地感受到数值分析方法在解决实际问题中的强大力量。例如，在讲解插值方法时，书中不仅给出了理论公式，还通过一个实际测量数据的拟合过程，展示了如何选择合适的插值函数以及如何评估插值效果。这种“学以致用”的导向，让我对书中的每一个公式、每一个算法都有了更深刻的理解，也让我看到了学习这些抽象数学工具的价值所在。我甚至尝试着根据书中的例子，自己动手在计算机上实现一些算法，这让我受益匪浅，也极大地激发了我进一步探索数值计算在各学科领域应用的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计我非常喜欢，封面采用了比较素雅的蓝色作为主色调，配以简洁大方的字体，整体给人一种沉稳而专业的视觉感受。书脊的条码和出版社信息也清晰可见，方便我之后查找和管理。翻开书页，纸张的质感也相当不错，触感光滑细腻，厚度适中，不会出现透页的尴尬。印刷的清晰度更是没得说，无论是文字还是公式，都锐利分明，阅读起来毫无压力，长时间看也不会觉得眼睛疲劳。装订方面，看得出是用心了的，翻折都很到位，不容易掉页，这对于一本需要经常查阅的教材来说是非常重要的。整体而言，这本书在实体制作层面就已经给我留下了非常好的第一印象，让我对接下来的阅读内容充满了期待。我甚至在收到书的第一时间就仔细检查了是否有任何印刷或装订上的瑕疵，结果是令人满意的，这让我觉得这次购买物超所值，也更愿意将它推荐给我的同学们。

评分☆☆☆☆☆

我个人非常注重学习过程中的互动性和反馈。这本书在这方面也给我留下了深刻的印象。在每个章节的结尾，都设置了“习题”和“思考题”板块，习题的难度由浅入深，覆盖了本章的主要知识点，能够有效地检验我们对概念的掌握程度。而思考题则更具挑战性，它们往往需要我们将所学知识融会贯通，并结合一些创新的思路来解决，这极大地锻炼了我的分析问题和解决问题的能力。更令人欣慰的是，书中对于一些关键习题的解答思路或者提示也非常详细，避免了我们在遇到难题时无从下手的情况。这种设计，无疑为我们提供了一个非常友好的学习环境，让我们能够及时发现自己的不足，并加以改进。我认为，一本好的教材，就应该像一位循循善诱的老师，在引导学生进步的同时，也给予必要的支持和启发。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本好的数学教材，不仅仅是内容的堆砌，更重要的是它能否引导读者建立起清晰的逻辑脉络和深刻的数学直觉。这本书在这一点上做得非常出色。作者在介绍每一个新的概念时，都会先从一个直观的例子或者一个实际的应用场景入手，让我们理解这个概念出现的“为什么”和“有什么用”，而不是直接丢下一堆抽象的定义和公式。这种“由表及里”的讲解方式，对于我这样的初学者来说，极大地降低了理解门槛，也让我觉得学习过程充满乐趣，而不是枯燥的记忆。更难得的是，书中对于定理的证明也并非生硬照搬，而是穿插着一些启发性的思考和引导，让读者在理解证明过程的同时，也能体会到其中蕴含的数学思想。这种教学方法，我相信不仅能帮助我们掌握知识点，更能培养我们的数学思维能力，为今后的深入学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本优秀的教材，最重要的是能够激发读者的好奇心和求知欲。这本书在这方面做得非常出色。它并没有用晦涩的语言和复杂的符号来“吓唬”读者，而是以一种相对平易近人的方式，将复杂的数学概念娓娓道来。在阅读的过程中，我经常会被作者提出的问题所吸引，进而主动去思考问题的答案，这种主动学习的过程，比被动接受知识要深刻得多。书中对于一些前沿的研究方向和应用领域也有所提及，虽然只是简要的介绍，但已经足够引起我的兴趣，让我对数值分析这个学科的广度和深度有了初步的认识，也为我今后更深入的学习和研究指明了方向。我觉得，学习不应该仅仅是为了应付考试，更重要的是能够在这个过程中感受到知识的魅力，发现世界的美妙。