数学统计学系列：几何变换与几何证题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

萧振纲 著

图书标签:

• 数学
• 统计学
• 几何
• 变换
• 几何证明
• 数学竞赛
• 高中数学
• 解题技巧
• 思维训练
• 学习辅导

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560329956

版次：1

商品编码：10777697

包装：平装

开本：16开

出版时间：2010-05-01

用纸：胶版纸

页数：749

正文语种：中文

内容简介

《几何变换与几何证题》所研究的几何变换仅限于平面上的合同变换、相似变换和反演变换这三类初等几何变换；《几何变换与几何证题》系统地阐述了这三类几何变换的理论和它们在几何证题方面的应用。阅读《几何变换与几何证题》只需要具有中学数学知识即可；对于阅读几何变换理论有困难的读者，也可以只阅读与几何证题有关的章节。
《几何变换与几何证题》适合大中师生及数学爱好者使用。

内页插图

目录

第1章 合同变换／1
1.1 映射·变换·变换群／1
1.2 合同变换及其性质／6
1.3 三种基本合同变换——平移、旋转、轴反射／13
1.4 合同变换与基本合同变换的关系／26
1.5 自对称图形／36
习题1／46

第2章 相似变换／49
2.1 相似变换及其性质／49
2.2 基本相似变换——位似变换／56
2.3 位似旋转变换／62
2.4 位似轴反射变换／72
2.5 三相似图形／78
习题2／89

第3章 平移变换与几何证题／96
3.1 平行四边形与平移变换／97
3.2 共线相等线段与平移变换／102
3.3 一般相等线段与平移变换／107
3.4 平行与平移变换／114
3.5 线段比及其他与平移变换／123
习题3／133

第4章 旋转变换与几何证题／139
4.1 中点与中心反射变换／139
4.2 平行四边形及其他与中心反射变换／146
4.3 正三角形与旋转变换／155
4.4 正方形、等腰直角三角形与旋转变换／164
4.5 等腰三角形、相等线段与旋转变换／173
4.6 三角形的连接与旋转变换之积／181
习题4／192

第5章 轴反射变换与几何证题／202
5.1 轴对称图形与轴反射变换／202
5.2 角平分线与轴反射变换／209
5.3 垂直与轴反射变换／216
5.4 圆与轴反射变换／223
5.5 圆内接四边形的两个基本性质／231
5.6 300的角与轴反射变换／241
5.7 两类几何不等式与轴反射变换／250
5.8 轴反射变换处理其他问题举例／260
习题5／270

第6章 位似变换与几何证题／283
6.1 线段比与位似变换／283
6.2 共点线、共线点与位似变换／292
6.3 Menelaus定理与Ceva定理／300
6.4 两圆与位似变换／309
6.5 平行及其他与位似变换／320
习题6／328

第7章 位似旋转变换、位似轴反射变换与几何证题／341
7.1 三角形与位似旋转变换／341
7.2 同向相似三角形与位似旋转变换／349
7.3 两圆与位似旋转变换／357
7.4 等角线及其他与位似旋转变换／365
7.5 三角形的连接与位似旋转变换之积／372
7.6 位似轴反射变换与几何证题／384
习题7／392

第8章 反演变换／404
8.1 反演变换及其性质／404
8.2 线段度量关系与反演变换／413
8.3 圆与反演变换／421
8.4 两圆的互反性／430
8.5 几何命题的反演命题／439
8.6 极点与极线／450
习题8／457
附录／468
附录A 点对圆的幂·根轴·根心／468
附录B Mene1aus定理与Ceva定理的角元形式／491
参考解答／520
参考文献／741
编辑手记／745

前言/序言

　　自公元前3世纪古希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前3307-2757）的《几何原本》问世以来，平面几何即作为数学的一个分支而存在于世。由于平面几何有其鲜明的直觉与严谨、精确、简明的语言，并且经常出现一些极具挑战性的问题，因而这一古老的数学分支一直保持着青春的活力，以极具魅力的姿态展现在人们面前，备受人们的青睐。世界各国无不将平面几何作为培养本国公民的逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力的首选题材。由匈牙利于1894.年首开先河的国内外各级数学竞赛（数学奥林匹克）活动更是将平面几何作为常规的竞赛内容，并且从1959年开始举办的每年一届（1980年因特殊原因中断了一次）的国际中学生数学竞赛（通称国际数学奥林匹克）中，在同一届出现两道平面几何题的情形已屡见不鲜。
　　但是，传统的平面几何都是采用公理化方法处理的，这种方法将平面图形视作静止的图形，其优点是便于掌握几何图形本身的内在规律。但用这种静止的观点研究平面几何的一个最大缺陷是：难以发现不同几何事实之间的联系。在这种观点下，面对一个平面几何问题，人们就难以找到解决问题的关键——辅助线。于是就难以沟通从条件到结论的逻辑关系；于是便有“几何几何，想破脑壳”之说，导致许多学生视数学为畏途，一生望“数学”兴叹；于是便有许多参加数学竞赛的优秀选手在平面几何题面前败北，留下一声叹息与几多遗憾……

数学统计学系列：概率论与数理统计基础 作者： [此处可填写作者名] 出版社： [此处可填写出版社名] 出版日期： [此处可填写出版日期] 定价： [此处可填写定价] --- 内容简介 本书是“数学统计学系列”中的一部重要著作，专注于为读者系统、深入地介绍概率论与数理统计学的核心理论、基本方法与实际应用。全书结构严谨，内容涵盖了从基础的随机事件与概率概念，到复杂的统计推断与模型建立的全过程，旨在为理工科、经济管理类以及相关领域的学生、研究人员和工程师提供一本全面、权威的参考教材。 第一部分：概率论基础 本书伊始，我们致力于构建坚实的概率论基础。 第1章：随机事件与概率 本章从集合论的角度出发，清晰定义了随机事件、样本空间和$sigma$代数。我们详细阐述了概率的公理化定义，并深入探讨了古典概型、几何概型以及条件概率和独立性的概念。重点分析了事件的独立性在实际问题中的判断标准与误区，并通过大量实例说明了贝叶斯公式在信息更新中的应用。 第2章：随机变量及其分布 本章引入了随机变量的概念，将其作为联系随机现象与数学分析的桥梁。我们区分了离散型和连续型随机变量，并详细讲解了它们的概率分布函数（概率质量函数PMF和概率密度函数PDF）。对常见的重要分布进行了详尽的介绍，包括二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等，并分析了这些分布在实际建模中的适用场景。特别强调了矩（期望、方差、矩母函数）在描述分布特征中的作用。 第3章：多随机变量及其联合分布 现实中的随机现象往往涉及多个变量的相互作用。本章扩展到多随机变量的情况，详细讨论了联合分布函数、联合概率密度函数。核心内容包括边缘分布的计算、随机变量的函数分布（如卷积公式的推导），以及协方差和相关系数对变量间线性关系的度量。对于多维正态分布，本书进行了深入的探讨，这是后续多元统计分析的基础。 第4章：随机变量的极限与大数定律 概率论的理论深度体现在对极限过程的分析上。本章聚焦于随机变量序列的收敛性——依概率收敛、平方可积收敛和几乎必然收敛，并详细阐述了大数定律（包括弱收敛和强大数定律）的内涵与意义，解释了它们如何保证了样本均值对总体均值的可靠估计。 第5章：中心极限定理 中心极限定理是数理统计的基石。本章系统地介绍了不同形式的中心极限定理（如Lindeberg-Lévy CLT），阐明了正态分布在自然界和统计学中的普遍性和重要性。通过具体的例子，展示了CLT如何使得在缺乏特定分布信息的情况下，依然可以进行有效的统计推断。 第二部分：数理统计基础 在概率论的基础上，本书转入数理统计的核心领域，关注如何从样本数据中提取信息并对总体特征进行推断。 第6章：统计量与抽样分布 本章定义了统计量的概念，它是样本数据的函数。详细介绍了样本均值、样本方差等基本统计量的性质。重点分析了几种重要的抽样分布——卡方分布 ($chi^2$)、学生t分布（t分布）和F分布，并说明了它们是如何基于正态总体推导出来的，为参数估计和假设检验奠定基础。 第7章：参数估计 参数估计是统计推断的核心任务之一。本章分为两大部分： 1. 点估计： 详细介绍了估计量的优良性质（无偏性、有效性、一致性）。重点讲解了两种主要的估计方法：矩估计法（MOM）和极大似然估计法（MLE）。对于极大似然估计，不仅给出其构造步骤，还分析了其渐近性质（如渐近正态性、渐近有效性）。 2. 区间估计（置信区间）： 讲解了置信水平和置信区间的概念。针对总体均值、总体方差以及比例参数，推导了在不同抽样分布下的精确置信区间，并讨论了当总体分布未知或样本量较小时的实用方法。 第8章：假设检验基础 假设检验是统计决策的科学方法。本章系统地介绍了假设检验的基本框架：原假设与备择假设的建立、检验统计量的选取、显著性水平的确定、P值的计算与解释，以及第一类错误和第二类错误的控制。 第9章：常用统计检验方法 本章将理论应用于实践，详细介绍了基于正态分布的参数假设检验： 均值检验： 单样本Z检验、t检验；双样本独立t检验；配对样本t检验。 方差检验： 卡方检验（总体方差）。 比率检验： 总体比例的检验。 此外，还介绍了如何使用F检验进行两个总体方差的比较。 第10章：方差分析（ANOVA） 方差分析是比较多个总体均值是否相等的有力工具。本章详细阐述了单因素方差分析（One-Way ANOVA）的原理、模型假设（正态性、等方差性）和F检验的构建过程。对于多重比较（如Tukey HSD方法）也进行了介绍。 第11章：非参数统计与拟合优度检验 当数据不满足正态性或等方差性等强假设时，非参数方法变得至关重要。本章介绍了非参数估计和检验的基本思想。重点讲解了卡方拟合优度检验（检验观测频率是否符合某一理论分布），以及独立性检验（列联表分析）。 --- 本书特色 1. 理论与实践的紧密结合： 本书在推导核心定理和公式时力求严谨，同时辅以大量的实际应用案例，帮助读者理解统计学工具如何解决现实问题。 2. 概念的清晰阐释： 针对初学者容易混淆的概念（如频率与概率、点估计与区间估计、原假设与备择假设），本书提供了清晰、直观的对比和解释。 3. 强调模型假设： 书中反复强调每种统计方法背后的基本假设（如正态性、独立性、等方差性），培养读者审慎使用统计工具的科学态度。 4. 丰富的习题设计： 每章末尾均配有难度适中的练习题，包括计算题、概念辨析题和开放性思考题，以巩固学习效果。 本书是概率论与数理统计学习的坚实起点，为后续深入学习回归分析、时间序列分析及更高级的统计推断方法奠定了不可或缺的数学基础。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我入手这本书时，对“几何变换”这个概念并没有太清晰的认识，以为它只是高中数学里那些死记硬背的公式和变换矩阵。但这本书彻底颠覆了我的看法。作者以一种极其生动和直观的方式，将抽象的几何变换具象化，让我感觉自己好像真的在操作图形一样。他引入了许多可视化的图示和动画的描述（虽然书中是静态的，但文字描述非常到位），将平移、旋转、缩放、剪切等变换的动态过程展现得淋漓尽致。读到关于复数在几何变换中的应用部分，我更是大呼过瘾。作者将复数与平面上的点一一对应，然后通过复数的乘法和加法，清晰地展示了复数如何能够简洁地表示各种几何变换，比如乘上一个复数就相当于旋转和缩放，加上一个复数就相当于平移。这种将代数工具与几何图形完美结合的方式，极大地提升了我解决问题的能力。书中关于“几何证题”的部分，更是让我找到了攻克难关的“法宝”。作者不是简单地罗列定理，而是引导读者去思考，如何通过几何变换的视角去观察图形，去发现图形之间的内在联系。他分享了许多“以退为进”、“以静制动”的证题策略，让我学会了如何从一个未知的角度去切入，如何巧妙地利用变换来简化问题。读完书中的一个关于三角形内切圆的证明，我感觉自己仿佛打通了任督二脉，之前一直觉得很难的题目，现在突然变得豁然开朗。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学有浓厚兴趣的业余爱好者，平时喜欢阅读一些能够拓展思维的书籍。《数学统计学系列：几何变换与几何证题》这本书，简直就是为我量身定做的。它并没有拘泥于某个狭隘的数学分支，而是以几何变换为核心，巧妙地串联起了代数、几何以及部分分析学的内容。作者在书中，不仅仅是讲解了基础的欧几里得几何变换，还深入探讨了仿射变换、射影变换等更高级的概念，并且非常清晰地阐述了这些变换在不同几何空间中的性质和应用。尤其让我印象深刻的是，作者将这些抽象的概念与实际的物理世界联系起来，比如在描述透视投影时，他会引用摄影和绘画的例子，让我更容易理解射影变换的直观意义。在几何证题方面，这本书的价值更是难以估量。作者并不是机械地给出解题步骤，而是侧重于培养读者的“几何直觉”和“构造能力”。他鼓励读者去大胆猜想，去尝试不同的变换组合，去寻找图形的“对称性”和“不变性”。书中对于如何构建辅助线、如何引入“理想点”等技巧的讲解，都充满了智慧。我尝试着运用书中的方法去解决了一些之前让我头疼的组合几何问题，结果发现，许多复杂的问题竟然能够通过简单的几何变换变得异常清晰。这本书让我明白，数学的美不仅仅在于其严谨性，更在于其能够提供一套强大的工具，帮助我们理解和改造世界。

评分☆☆☆☆☆

读到这本《数学统计学系列：几何变换与几何证题》，我真的感到一本数学书可以写得如此引人入胜，这在我的阅读经历中是相当少见的。一开始，我以为它会是一本枯燥乏味的理论堆砌，就像我学生时代那些让我头疼的教材一样。然而，当我翻开第一页，就被作者那流畅而富有洞察力的文字深深吸引。他并没有一开始就抛出那些令人望而生畏的公式和定理，而是从一些日常生活中大家都能理解的现象出发，比如镜子的成像原理、物体旋转产生的规律等等，巧妙地引出了几何变换的概念。这种“润物细无声”的教学方式，让我在不知不觉中就理解了平移、旋转、对称、相似等基本变换的本质。更让我惊喜的是，书中对这些变换的几何意义和代数表达的联系进行了深入浅出的剖析，让我清晰地看到了它们之间的内在逻辑。而且，作者还花了很大的篇幅来讲解如何利用这些几何变换的工具来解决各种复杂的几何证明题。他提供了一系列非常巧妙的证题思路和方法，并附带了大量精心设计的例题，这些例题从易到难，覆盖了各种题型，每一个例题的解答过程都清晰明了，并且对每一步的推理都进行了详细的解释。我尤其喜欢书中对一些经典几何定理的证明，比如阿基米德的许多证明，作者通过引入恰当的几何变换，将原本繁琐的证明过程变得优雅而简洁，这让我对几何的美感有了全新的认识。这本书不仅仅是教我“怎么做”，更重要的是让我明白了“为什么这么做”，让我真正掌握了思考几何问题的方法。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学统计学系列：几何变换与几何证题》给我最大的感受就是“流畅”和“启发”。作者的语言风格非常亲切，仿佛一位经验丰富的老师在耐心地引导你探索数学的奥秘。他并没有刻意追求高深的词汇，而是用最朴实、最形象的语言来解释复杂的概念。当我读到关于“相似变换”的部分，作者通过对比例尺和中心点的讲解，让我立刻明白了相似变换的核心。然后，他将这个概念延伸到解决一些涉及比例和角度的几何问题，并展示了如何利用相似变换来化简证明。这本书还有一个非常大的优点，就是它非常注重“可视化”。书中大量的插图和示意图，让原本抽象的几何概念变得生动形象，帮助我更好地理解和记忆。我尤其喜欢书中关于“对称变换”的讲解。作者不仅介绍了轴对称、中心对称、旋转对称，还扩展到了更一般的群对称性。他用生活中的例子，比如花瓣的对称、雪花的对称，来类比数学中的对称概念，让我觉得数学离我们并不遥远。在几何证题方面，这本书提供的“方法论”也非常独特。作者并不是教你死记硬背解题步骤，而是引导你思考“为什么”。他会提出一些问题，让你去思考图形的哪些部分是“不变的”，哪些部分是“发生变化的”，从而找到解题的关键。读完这本书，我感觉自己的几何思维被彻底打开了，看待问题的方式也变得更加灵活和多元。

评分☆☆☆☆☆

作为一名数学专业的学生，我阅读过不少与几何相关的书籍，但《数学统计学系列：几何变换与几何证题》这本书却给了我一种耳目一新的感觉。它没有像许多专业教材那样，上来就堆砌大量的定义和定理，而是以一种更加人性化、更具启发性的方式展开。作者在书中，非常注重几何变换的“思想性”和“应用性”。他不仅仅是介绍各种变换的代数表示，更重要的是挖掘这些变换背后的几何意义，以及它们在解决实际问题中的强大威力。我尤其喜欢书中关于“群论”在几何变换中的应用的讲解。作者通过引入群的概念，将各种几何变换组织起来，展示了它们之间的相互关系和规律。这不仅加深了我对群论的理解，更让我看到了几何变换背后更深层次的数学结构。在几何证题方面，这本书提供的思路和方法，可以说是一种“思维体操”。作者鼓励读者跳出固定的思维模式，用变换的视角去审视问题。他介绍了一些“动态证法”和“运动证法”，通过将图形视为一个整体，利用变换使其“运动”起来，从而揭示其内在的性质。这对于培养学生的创新思维和解决复杂问题的能力，具有非常重要的意义。我尝试用书中的方法去解决一些工程领域中的几何建模问题，发现效果非常好，大大提高了效率。

评分☆☆☆☆☆

不错

评分☆☆☆☆☆

习题6／328

评分☆☆☆☆☆

3.3 一般相等线段与平移变换／107

评分☆☆☆☆☆

1.3 三种基本合同变换——平移、旋转、轴反射／13

评分☆☆☆☆☆

附录B Mene1aus定理与Ceva定理的角元形式／491

评分☆☆☆☆☆

俄罗斯平面几何问题集（第6版）

评分☆☆☆☆☆

查看全部

评分☆☆☆☆☆

第4章 旋转变换与几何证题／139

评分☆☆☆☆☆

8.4 两圆的互反性／430