大學生數學競賽指南 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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王婷婷 編

圖書標籤:

• 數學競賽
• 大學生
• 高等數學
• 競賽指南
• 數學輔導
• 考研數學
• 數學問題
• 解題技巧
• 數學思維
• 學習參考

齣版社： 陝西師範大學齣版社

ISBN：9787561395097

版次：1

商品編碼：12290194

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2017-09-01

用紙：膠版紙

頁數：230

字數：350000

正文語種：中文

內容簡介

　　《大學生數學競賽指南》由西北農林科技大學理學院王婷婷副教授主編，內容主要針對全國大學生數學競賽預賽（非數學專業），對基礎知識點、競賽考點一一分析，並給齣例題詳解。例題主要取材於往年競賽初賽和決賽的試題，並且收集瞭一些典型的或自編的問題。為方便讀者學習掌握解題的方法技巧及知識點的精髓，全書分為6章，分彆是函數與極限、導數與微分、積分學、微分方程、無窮級數和嚮量代數與空間解析幾何。書中各章節的編寫不同於日常教材內容的次序，覆蓋瞭教材的所有內容，且對適用於不同題型較為通用的方法著力側重，從而使結論更具有普遍意義。
　　在選材和指導方麵，《大學生數學競賽指南》精心設計，深入淺齣。比如，數論學科的研究與數學競賽的發展之間都一直有著密不可分的聯係。許多競賽題目和數論題目有著異麯同工之處，它們都看似很簡單，可是人手時卻有一種無處下手的感覺。其原因就在於這類題目既考查做題人知識基礎的牢固程度，又充滿瞭技巧性，與我們平日的期末考試完全不同。期末考試考查的往往是單一知識點，而競賽中的題目則更注重多個知識點之間的綜閤應用。譬如求極限的題目，教學大綱要求我們掌握基本的求極限的方法，相信很多同學都能夠掌握一些常用方法，例如洛必達法則、等價無窮小的替換等；但是競賽類的題目技巧性、綜閤性強，要求學生對解題方法不僅要掌握，更要熟練應用。同學們在看真題、例題的時候，就會發現競賽中如果遇到求極限的題目，絕不可能隻用洛必達法則就能解決，而是需要對所求的式子進行各種變形，多種方法相互作用纔能達到效果。所以我們在編寫過程中，除瞭對基礎知識的復習之外，更加注重分析題目的思路和技巧，使同學們在解答基礎題目時就進行能力提升，對知識的掌握也就更加深入，這方麵我們采取的策略是對問題的分析和解題後的評注。

作者簡介

　　王婷婷，副教授，碩士生導師，博士師從我國著名數論專傢張文鵬教授。現任全國大學生數學競賽陝西賽區組織委員會副主任。（國傢“985工程”和“211工程”重點建設高校）西北農林科技大學理學院應用數學係應用數學教研室主任。近年來，在《SCIENCE CHINA Mathematics（Series A）》《Acta Arithmetica》等學術期刊上發錶SCI檢索論文30餘篇。主持國傢自然科學基金青年項目和陝西省自然科學基礎研究計劃。

內頁插圖

目錄

第1章 函數與極限
一、基礎知識點
二、考點解析
三、例題詳解
四、練習題

第2章 導數與微分
一、基礎知識點
二、考點解析
三、例題詳解
四、練習題

第3章 積分學
一、基礎知識點
二、考點解析
三、例題詳解
四、練習題

第4章 微分方程
一、基礎知識點
二、考點解析
三、例題詳解
四、練習題

第5章 無窮級數
一、基礎知識點
二、考點解析
三、例題詳解
四、練習題

第6章 嚮量代數與空間解析幾何
一、基礎知識點
二、考點解析
三、例題詳解
四、練習題

曆屆決賽真題
第一屆全國大學生數學競賽決賽試題
第二屆全國大學生數學競賽決賽試題
第三屆全國大學生數學競賽決賽試題
第四屆全國大學生數學競賽決賽試題
第五屆全國大學生數學競賽決賽試題
第六屆全國大學生數學競賽決賽試題
第七屆全國大學生數學競賽決賽試題
第八屆全國大學生數學競賽決賽試題

練習題參考答案
第1章
第2章
第3章
第4章
第5章
第6章

曆屆決賽真題參考答案
第一屆
第二屆
第三屆
第四屆
第五屆
第六屆
第七屆
第八屆

附 全國大學生數學競賽（預賽非數學類）考試大綱

前言/序言

　　本書是與《全國大學生數學競賽預賽（非數學類）競賽大綱》緊密配套的學習輔導書，旨在指導參賽學生的數學競賽學習，提升數學競賽技能。
　　自2009年10月中國數學會普及工作委員會舉辦首屆全國大學生數學競賽，至今該競賽已成功舉辦瞭8屆，這項全國性高水平學科競賽極大地激發瞭大學生學習數學的興趣，對培養數學科學素質，提高大學數學教學水平，推動教學改革，發現和選拔數學創新人纔起著重要的作用。
　　全國大學生數學競賽預賽（非數學類）的知識內容主要為高等數學。對於學習高等數學課程的學生來說，不僅要掌握微積分的基本概念、基本理論和基本方法，更要通過學習，培養熟練的運算能力和運用數學知識分析和解決問題的能力。高等數學是高等院校極其重要的一門基礎課，是幾乎所有理工科專業後繼課程的基礎，在培養具有良好素養的數學及其應用人纔方麵起著非常重要的作用，而且滿足學有餘力的學生學習數學的願望，發展他們的數學纔能，因此，“全國大學生數學競賽”吸引力極強，全國眾多高校的本科生和青年教師積極參與、踴躍投入，每年參賽數萬人，隨著大學生數學競賽被越來越多的院校教師、學生所重視，我們不斷地收到反饋意見——希望能夠有一本更加適閤同學們賽前強化復習的配套參考書。正是廣大學生的這一要求，促使我們編寫瞭這本《大學生數學競賽指南》。
　　本書由西北農林科技大學理學院王婷婷副教授主編，內容主要針對全國大學生數學競賽預賽（非數學專業），對基礎知識點、競賽考點一一分析，並給齣例題詳解，例題主要取材於往年競賽初賽和決賽的試題，並且收集瞭一些典型的或自編的問題。為方便讀者學習掌握解題的方法技巧及知識點的精髓，全書分為6章，分彆是函數與極限、導數與微分、積分學、微分方程、無窮級數和嚮量代數與空間解析幾何。書中各章節的編寫不同於日常教材內容的次序，覆蓋瞭教材的所有內容，且對適用於不同題型較為通用的方法著力側重，從而使結論更具有普遍意義。

深入解析高等數學核心概念：現代微積分與綫性代數前沿 導讀：駕馭現代數學的基石 本書旨在為具備一定微積分基礎的理工科學生、研究生以及希望夯實理論基礎的數學愛好者，提供一套係統、深入且緊密結閤現代應用需求的高等數學學習資源。我們摒棄瞭傳統教材中過於繁瑣的曆史敘述和低效的機械計算練習，而是聚焦於數學思想的精髓、概念的嚴謹定義，以及工具的強大應用潛力。本書的結構力求體現現代數學分析的邏輯統一性，將經典微積分理論提升至更抽象、更具普適性的視角。 第一部分：分析學的嚴謹構建——從極限到測度 本部分緻力於重建讀者對微積分理論的理解，使其從直觀的“無窮小/無窮大”概念過渡到嚴格的$varepsilon-delta$語言，並進一步擴展到更高級的分析工具。 第一章：實數係統的完備性與拓撲基礎 目標： 理解實數係統的內在結構，為後續的分析奠定邏輯基礎。 實數域的構造與性質： 深入探討戴德金割或柯西序列構造法，強調有序域的完備性公理（LUB/GLB性質）在分析學中的核心地位。 拓撲初步： 引入鄰域、開集、閉集、聚點、緊緻集等基本拓撲概念。特彆關注$mathbb{R}^n$上的拓撲性質及其與序列收斂的關係。 連續性的新視角： 運用拓撲語言重新定義連續函數，探討函數空間的性質，而非僅僅停留在點集上的極限定義。 第二章：序列與級數的收斂性進階 目標： 掌握函數序列和函數項級數的收斂類型，特彆是均勻收斂。 標準收斂性判據的深化： 對比點態收斂與均勻收斂的本質區彆。闡述為什麼均勻收斂是交換極限（如求導、積分）順序的必要條件。 完備性空間： 引入巴拿赫空間（Banach Space）的概念，探討度量空間中的柯西序列與完備性。這為泛函分析的深入學習埋下伏筆。 冪級數與函數逼近： 討論泰勒級數的收斂半徑與收斂域，重點分析非初等函數（如誤差函數、貝塞爾函數）的冪級數展開，並引入Weierstrass逼近定理的思想框架。 第三章：勒貝格積分的理論基石 目標： 從黎曼積分的局限性齣發，係統學習現代分析中不可或缺的勒貝格積分理論。 測度論基礎： 構造$sigma$-代數，定義外測度和勒貝格測度。理解可測集與不可測集的概念，認識測度論對幾何測量的突破。 簡單函數與勒貝格積分： 通過簡單函數逼近可測函數，建立勒貝格積分的定義。對比黎曼可積與勒貝格可積的條件。 核心收斂定理： 詳述單調收斂定理（MCT）、法圖引理（Fatou's Lemma）和支配收斂定理（DCT）。重點展示DCT在處理級數項間積分與求導交換時的絕對優勢。 第四章：多元微積分的幾何與分析統一 目標： 將單變量分析提升到高維空間，側重於微分的幾何意義和積分的廣義形式。 微分的推廣： 介紹多變量函數的偏導數、方嚮導數，並深入理解雅可比矩陣作為最佳綫性逼近的本質。引入微分形式與外微分（Differential Forms）的概念預備。 隱函數與反函數定理的深度解析： 強調其在局部反演和坐標變換中的關鍵作用，從綫性代數角度理解其判定條件（雅可比行列式的非零性）。 綫麵積分的廣義定理： 統一格林公式、斯托剋斯公式和高斯散度定理。重點在於理解這些定理是更一般的高維“邊界積分定理”在特定流形上的特例。 第二部分：綫性代數的代數結構與應用 本部分側重於從抽象代數的視角理解嚮量空間，並將其理論應用於現代計算科學和微分方程。 第五章：嚮量空間的抽象結構 目標： 掌握綫性代數的核心概念，並將其置於更廣闊的代數框架內。 公理化定義： 嚴格定義嚮量空間、子空間、綫性無關、基與維數。強調基選擇的任意性與維度定義的唯一性。 綫性映射與同構： 深入研究綫性變換的核（Kernel）與像（Image），闡述秩-零化定理的內在邏輯。探討嚮量空間間的同構關係，理解同構意味著“結構上等價”。 商空間與對偶空間： 引入商空間（Factor Spaces）的概念，理解它如何“模去”一個子空間來構造新的、更簡潔的空間。初步介紹對偶空間的元素——綫性泛函。 第六章：特徵值問題的深入分析 目標： 理解特徵值問題的幾何含義，並掌握對角化和矩陣的規範形。 特徵值與特徵嚮量： 探討特徵值的物理意義（不變方嚮），並分析特徵值問題的解的穩定性。 相似性與對角化： 討論矩陣可對角化的充要條件（特徵子空間維數之和等於空間維數）。 若爾當標準型（Jordan Canonical Form）： 針對不可對角化的情況，係統介紹若爾當塊的結構。理解JCF在求解常微分方程組和分析動力係統穩定性中的關鍵作用。 第七章：內積空間與譜理論 目標： 引入度量（內積），從而賦予嚮量空間幾何結構，並學習譜理論。 內積、範數與正交性： 在任意嚮量空間上定義內積，導齣範數。重點討論施密特正交化過程及其在投影理論中的應用。 矩陣的範數與奇異值分解（SVD）： 介紹矩陣的各種算子範數。SVD作為矩陣分解的終極形式，詳細解析其在數據壓縮、最小二乘解中的應用，並展示其與特徵值分解的聯係。 譜理論基礎： 聚焦於自伴隨（或稱厄米特）矩陣，證明其特徵值必為實數，特徵嚮量可正交化。這是量子力學和大量數值計算算法的理論基礎。 結語：數學的橋梁 本書的編寫目標是為讀者架設起從經典微積分到現代數學分析與代數結構的橋梁。它不提供應試技巧，而旨在培養一種嚴謹的數學思維：如何從基本公理齣發，通過邏輯推導構建齣宏偉的理論體係，並理解這些體係在現代科學前沿（如偏微分方程、優化理論、機器學習的理論基礎）中的不可替代性。掌握瞭這些內容，讀者便能更自信地進入更專業領域的學習與研究。

評分☆☆☆☆☆

一本數學競賽的入門寶典，讓我這個對數學競賽一竅不通的“小白”也燃起瞭鬥誌！我一直覺得數學競賽離我好遙遠，那些高深的理論、巧妙的解題技巧，對我來說就像天書一樣。然而，當我翻開這本書，那種感覺瞬間消失瞭。作者用極其通俗易懂的語言，循序漸進地講解瞭數學競賽涉及到的各個核心概念，從基礎的代數、幾何，到稍微進階的數論、組閤數學，都一一涵蓋。而且，最讓我驚喜的是，這本書的例題選取非常有代錶性，既有經典的例題，也有一些近年來競賽中齣現的新題型，並且對每道題的解題思路和步驟都進行瞭詳盡的分析，讓我能真正理解“為什麼這麼做”。我尤其喜歡書中那種鼓勵探索的精神，作者並沒有直接給齣答案，而是引導讀者一步步思考，培養獨立解決問題的能力。書中的一些小貼士和“陷阱”提示，更是及時糾正瞭我的一些思維誤區，讓我少走瞭不少彎路。雖然我還沒完全掌握所有技巧，但這本書已經為我打開瞭一扇通往數學競賽世界的大門，讓我充滿瞭信心去繼續探索和學習。它就像一位循循善誘的良師益友，讓我覺得數學競賽並非高不可攀，而是充滿瞭趣味和挑戰，值得我去努力嘗試。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我帶來的最深刻的感受，是它在理論深度和實踐應用之間找到瞭一個絕佳的平衡點。我曾嘗試過一些其他的數學競賽書籍，要麼過於理論化，閱讀起來枯燥乏味，讓人望而卻步；要麼過於偏重技巧，缺乏理論支撐，學到的東西浮於錶麵，難以觸類旁通。而這本《大學生數學競賽指南》卻巧妙地規避瞭這些問題。它在講解每一個知識點時，都先深入淺齣地闡述瞭其背後的數學原理，讓我們明白“為什麼”，而不是僅僅記住“怎麼做”。然後，作者緊接著會給齣大量的例題，這些例題的設計非常精妙，能夠有效地檢驗我們對理論知識的掌握程度，並且通過不同的解題角度，拓展我們的思路。我特彆欣賞書中對解題方法的歸納和總結，它不僅僅是羅列各種技巧，更重要的是幫助我們理解這些技巧的適用範圍和內在邏輯。比如，在講到代數不等式時，作者不僅介紹瞭常見的放縮法、均值不等式等，還詳細分析瞭在不同條件下如何選擇最優的方法，以及如何避免常見的錯誤。這種由淺入深、由點及麵的講解方式，極大地提升瞭我的學習效率，讓我能夠舉一反三，觸類旁通。

評分☆☆☆☆☆

作為一名在數學競賽領域摸爬滾打多年的“老油條”，我深知一本好的參考書對競賽復習的重要性。而這本《大學生數學競賽指南》，在我看來，絕對是其中的佼佼者。它的內容設計非常全麵，涵蓋瞭數學競賽所需的絕大多數核心知識點，而且每一個知識點的講解都深入透徹，既有理論的嚴謹性，又不失實踐的指導性。我特彆欣賞作者在處理一些復雜問題時的思路。比如，在講解某個數論定理時，作者並沒有僅僅給齣定理的陳述和證明，而是花瞭大量的篇幅去分析這個定理的起源、發展以及在不同場景下的應用，這讓我對知識的理解更加深刻。書中的例題選取也十分考究，既有經典的老題，也有一些近幾年的新題，並且每道題的解析都詳盡到位，甚至會提供多種解題思路，讓我們能夠拓寬視野，掌握不同的解題策略。此外，書中還穿插瞭一些關於學習方法和心態調整的建議，這對於正在備戰競賽的同學們來說，也是非常寶貴的精神食糧。總而言之，這本書是我近年來遇到的最值得推薦的數學競賽輔導書之一，它不僅能幫助我鞏固知識，更能激發我對數學的熱情，讓我更有信心地迎接挑戰。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，學習數學競賽，不僅僅是掌握一套題庫，更重要的是培養一種數學思維方式。這本書在這方麵做得非常齣色。它不僅僅是教你“怎麼做題”，更注重引導你去思考“為什麼這麼做”。作者在分析例題時，總是會深入剖析解題思路的來源，挖掘隱藏在題目背後的數學思想，讓我們不僅僅是機械地模仿，而是能夠真正理解和掌握。我尤其喜歡書中關於“數學思想方法”的討論，比如如何運用模型思想解決組閤問題，如何通過構造函數來分析不等式等等。這些方法論的講解，讓我感覺自己不再是孤立地學習一個個知識點，而是能夠將它們串聯起來，形成一個有機的知識體係。而且，書中還提供瞭大量的拓展性思考題，這些題目往往能夠引導我們從不同的角度去審視問題，發散思維，這對於培養創新能力和解決難題的能力非常有幫助。可以說，這本書為我提供瞭一個學習數學競賽的“內功心法”，讓我不僅僅是學會瞭“招式”，更重要的是領悟瞭“道”。

評分☆☆☆☆☆

作為一個長期在考場邊緣徘徊的學生，我對數學競賽一直抱著一種又愛又怕的心態。愛的是它能激發智力，挑戰自我，怕的是它的難度和不確定性。然而，當我拿到這本《大學生數學競賽指南》之後，這種矛盾的心情得到瞭極大的緩解。這本書的編排邏輯清晰，就像一張精心繪製的地圖，為我規劃瞭一條清晰的學習路徑。從基礎概念的梳理，到專題的深入剖析，再到模擬練習的強化，每一步都顯得那麼自然而然。作者在講解過程中，並沒有使用晦澀難懂的術語，而是盡可能地用生活化的比喻和生動的例子來闡釋抽象的數學思想，讓我這個數學基礎相對薄弱的學生也能輕鬆理解。我特彆喜歡書中關於“思維誤區”的提示，這些內容往往是許多學生容易犯錯的地方，而作者卻能提前預判並給齣解決方案，這真的是太貼心瞭！它讓我知道，原來許多難題是可以被分解的，許多看似復雜的問題背後，隱藏著簡單的數學邏輯。閱讀這本書的過程，與其說是學習，不如說是一種智力探險，我從中不僅學到瞭數學知識，更重要的是培養瞭對數學的興趣和解決問題的信心。