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纪友清 等 著

图书标签:

• 泛函分析
• 数学
• 应用数学
• 高等教育
• 教材
• 理论
• 分析
• 函数空间
• 算子理论
• 数值分析

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030542281

版次：31

商品编码：12339781

包装：平装

丛书名： 工科研究生数学类基础课程应用系列丛书

开本：16开

出版时间：2018-04-01

页数：202

字数：272000

正文语种：中文

内容简介

　　《应用泛函分析》是为工学各专业研究生学习泛函分析课程编写的教材。《应用泛函分析》共分4章，分别介绍实分析基础、距离空间、Hilbert空间、有界线性算子等内容，并在附录里介绍了上述知识的一些延伸内容：Sobolev空间、正规正交基、二次变分问题等。
　　《应用泛函分析》取材精炼，结构紧凑，关注应用，每章末都附有难易适度的习题。在注重培养学生掌握泛函分析基本理论和方法的同时，也注重培养学生应用泛函分析的思想方法解决实际问题的能力。

目录

目录
序言
前言
第1章 实分析基础 1
1.1 集合与映射 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 映射 3
1.1.3 集合的基数 4
1.2 实数与函数的有关定理 7
1.2.1 实数的有关定理 7
1.2.2 函数的有关概念与定理 11
1.3 直线上的开集和闭集 15
1.3.1 开集和闭集的概念 15
1.3.2 开集和闭集的性质 17
1.3.3 开集和闭集的结构 19
1.4 可测集 20
1.4.1 有界开集和闭集的测度 20
1.4.2 可测集的概念 22
1.4.3 可测集的性质 24
1.5 可测函数 25
1.5.1 可测函数的概念 25
1.5.2 可测函数的性质 27
1.5.3 几乎处处收敛和测度收敛 29
1.6 Lebesgue积分 31
1.6.1 Riemann积分 31
1.6.2 Lebesgue积分的概念 33
1.6.3 Lebesgue积分的性质 35
1.6.4 Lp空间 37
习题 1 38
第2章 距离空间 41
2.1 距离空间的定义和例子 41
2.1.1 距离空间的定义 41
2.1.2 距离空间的实例 41
2.2 度量空间中的点集 47
2.2.1 距离拓扑 47
2.2.2 稠密集与可分性 48
2.3 完备距离空间 49
2.3.1 距离空间的完备化 52
2.4 紧性与列紧性 54
2.5 Banach空间 60
2.6 不动点原理及其应用 68
2.6.1 Banach不动点原理及迭代方法 68
2.6.2 压缩映像原理在积分方程理论中的应用 72
2.6.3 利用不动点定理求解常微分方程 74
2.7 有界线性泛函与Hahn-Banach扩张定理 76
2.7.1 有界线性算子 76
2.7.2 Hahn-Banach定理 84
习题 2 100
第3章 Hilbert空间 107
3.1 内积空间 107
3.1.1 内积空间的概念和性质 107
3.1.2 常见的内积空间 110
3.2 几个常用的Hilbert空间 112
3.3 正交分解 115
3.3.1 正交与正交补 115
3.3.2 变分原理与正交分解定理 117
3.3.3 正交分解定理的应用 120
3.4 Hilbert空间中的Fourier分析 123
3.4.1 标准正交系 123
3.4.2 Fourier级数 126
3.5 Hilbert空间的同构 129
习题 3 131
第4章 有界线性算子 135
4.1 一致有界原理，开映射定理和闭算子定理 135
4.1.1 一致有界原理 135
4.1.2 开映射定理，闭算子定理 139
4.2 共轭空间与共轭算子 141
4.2.1 共轭空间 141
4.2.2 共轭算子 143
4.2.3 算子的值域与核空间 145
4.3 算子的谱 147
4.3.1 谱的定义和性质 147
4.3.2 具体算子的谱 149
4.4 紧算子 152
4.4.1 紧算子的定义及性质 152
4.4.2 紧算子的谱 155
4.5 自伴算子，射影算子 156
4.5.1 自伴算子的定义及性质 157
4.5.2 射影 161
4.5.3 不变子空间与约化子空间 164
习题 4 165
附录 Sobolev空间 168
A.1 Sobolev空间 168
A.1.1 广义导数 168
A.1.2 Sobolev空间 170
A.1.3 Sobolev空间 171
A.2 正规正交基的存在性与Parseval公式 174
A.2.1 正规正交基的存在性 174
A.2.2 Parseval公式 174
A.3 共轭双线性泛函 176
A.4 Hilbert共轭算子与Lax-Milgram定理 178
A.4.1 Hilbert共轭算子 178
A.4.2 Lax-Milgram定理 182
A.4.3 算子的矩阵表示 185
A.5 二次变分问题 187
A.5.1 双线性形式 187
A.5.2 二次变分问题的主定理 188
A.6 从泛函分析角度考察Dirichlet原理 190
A.6.1 经典的欧拉{拉格朗日方程 191
A.6.2 广义边界值 194
A.6.3 Poincarffe-Friedrichs不等式 194
A.6.4 Dirichlet问题的解的存在性 196
参考文献 199
索引 200

拓扑学基础与现代几何的桥梁 本书旨在为读者构建一个坚实而深刻的拓扑学知识体系，重点聚焦于点集拓扑和代数拓扑的初步概念及其在分析学和几何学中的应用。全书内容组织严谨，逻辑推演清晰，旨在帮助读者从直观的几何概念过渡到抽象的数学结构中。 第一部分：点集拓扑的基石 第一章：集合论回顾与基础概念的铺陈 本章首先对集合论的基本语言进行必要的梳理，包括集合的定义、函数、关系、以及序关系等。在此基础上，引入拓扑学的核心构件——拓扑空间的概念。我们将详细讨论拓扑的定义、开集、闭集、闭包、内部、边界等基本要素的严格定义与相互关系。特别地，对基（Basis）和子基（Subbasis）的引入，使得后续对特定拓扑结构的构造与分析变得系统化。我们将考察如密集性、分离公理（如$T_0, T_1, T_2$（Hausdorff）、$T_3, T_4$（正规））等关键性质，并展示这些性质在不同空间类型中的体现。 第二章：连续性、同胚与紧致性 连续性是连接不同拓扑空间的桥梁。本章首先定义了拓扑空间之间的连续映射，并探讨了其与开集、闭集之间的等价刻画。随后，引入同胚（Homeomorphism）的概念，将其确立为拓扑学中研究“拓扑不变性”的根本工具。紧接着，我们深入探讨紧致性（Compactness），这是一个极为重要的性质。紧致性的定义（开覆盖的有限子覆盖）在度量空间中表现为有界闭集，但在一般拓扑空间中则更加抽象。我们将详细讨论紧致空间的性质，如紧子集的闭性，紧集的连续像的紧致性，以及Tychonoff定理（有限个紧致空间的乘积空间仍是紧致的）的证明及其重要性。 第三章：连通性与可构造性 本章致力于研究拓扑空间的“分离性”——连通性（Connectedness）。我们将连通性定义为不能被分解为两个不相交的非空开集的并集。重点分析路径连通性（Path-connectedness）及其与连通性的关系，尤其是在具有足够良好性质的空间中，两者是如何相互蕴含的。此外，本章还将讨论局部连通性的概念，并将其应用于分析一些重要的拓扑空间，如欧几里得空间的子集。最后，本章会初步探讨拓扑空间的构造性问题，如商空间（Quotient Spaces）的建立，这是理解复杂空间结构，如球面、环面等几何对象，在拓扑学上进行研究的基础。 第二部分：度量空间与函数空间的初步 第四章：度量空间的深度剖析 度量空间是拓扑学与分析学交叉的核心领域。本章从度量（Metric）的定义出发，构建出依赖于度量的拓扑结构（即由开球定义的拓扑）。我们将详细讨论度量空间的开集、闭集、完备性（Completeness）的概念。完备性是泛函分析等高级领域中不可或缺的工具，本章将集中阐述柯西序列、收敛性以及完备空间（如Banach空间的前身）的性质。我们将考察著名的Baire范畴定理（Baire Category Theorem）在完备度量空间中的应用，它揭示了完备空间中“大部分”元素所具有的稠密性质。 第五章：函数空间与收敛性 将函数集合本身结构化为拓扑空间是连接几何与分析的关键一步。本章专注于构造和分析函数空间。我们将介绍点态收敛、一致收敛的拓扑含义。重点讨论均匀收敛拓扑（即由sup范数诱导的拓扑），并在紧凑集上定义这种拓扑。此外，我们还会简要介绍等度连续性（Equicontinuity）的概念，为Ascoli定理的引入做好铺垫。紧致收敛拓扑的性质，特别是它如何将一致收敛的良好性质提升到函数空间层面，将是本章的重点讨论内容。 第三部分：代数拓扑的入门视野 第六章：同伦与基本群的初步探索 本章将视角从度量和距离提升到拓扑变换的稳定性，引入代数拓扑的视角。我们首先定义连续形变（Homotopy）的概念，并在此基础上定义同伦等价（Homotopy Equivalence）。随后，我们将构造基本群（Fundamental Group $pi_1(X, x_0)$），这是一个非平凡的代数不变量，用于区分具有“洞”的拓扑空间。通过对圆周 $S^1$ 的基本群的计算，展示代数不变量如何区分拓扑空间，并阐述基本群的群结构是如何从路径的乘法和逆元定义的。 第七章：覆盖空间与单连通性 在理解了基本群后，本章将探讨覆盖空间（Covering Spaces）的概念。我们将给出覆盖映射的严格定义，并讨论其与基本群之间的深刻联系。通过Liftings Property（提升性质），我们将看到基本群如何作用于覆盖空间。对于基本群是平凡群（即所有回路都可收缩到一点）的空间，我们称之为单连通（Simply Connected）空间。本章将以球体 $S^n$（$ngeq 2$）的单连通性作为案例，展示代数拓扑方法在处理高维几何对象时的威力。 全书的叙事线索是从具体的度量结构出发，逐步抽象到拓扑空间，最后引入代数工具来对拓扑空间进行分类和区分。本书的难度适中，适合具有扎实实分析基础的高年级本科生或初级研究生阅读，为进一步深入研究拓扑学、微分几何或泛函分析奠定坚实的数学基础。书中包含了大量的例题和习题，旨在强化读者的理论理解和计算能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计简直是一场视觉盛宴，厚实的封面搭配着烫金的书名，散发出一种低调而深邃的学者气质。内页的纸张选择也非常考究，触感温润，字迹清晰锐利，即便是长时间的阅读也不会感到疲惫。初次翻阅时，我被它严谨的排版和流畅的图表深深吸引。作者在逻辑构建上的功力可见一斑，从基础概念的引入到复杂定理的推导，每一步都像是精心铺设的阶梯，引领读者稳步向上。尽管主题本身带有一定的抽象性，但作者似乎深谙如何将晦涩的理论变得触手可及。尤其是对于某些关键引理的阐述，那种层层递进、环环相扣的论证过程，让人在豁然开朗之余，油然而生一种对数学美学的敬畏。我特别欣赏它在章节末尾设置的“思考与辨析”环节，它不仅仅是简单的习题，更像是与作者进行的一场智力对话，迫使我跳出现有的思维框架去审视和挑战那些既定的结论。这本书无疑是为那些真正渴望在数学的殿堂里深耕细作的求知者准备的，它不提供捷径，但它铺设了一条最坚实可靠的罗马大道。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书的阅读门槛相当高，它不是那种可以随意放置在咖啡桌上翻阅的休闲读物。它要求读者在心智上做好充分的准备，带着对精确性和完备性的执着追求才能进入其构建的世界。不过，一旦你适应了它的语言体系，你会发现它所提供的理论框架具有无与伦比的解释力和预测力。书中对某些经典问题的处理方式，简直是教科书级别的范例——每一步的假设、每一步的推理，都如同精密仪器校准过一般，毫无冗余。我特别喜欢它在证明某些关键定理时所采用的“双轨制”策略：首先用直觉性的、构造性的方式勾勒出大致的思路，让读者心中先建立一个“地图”，然后再进行严格的形式化证明。这种先“形”后“实”的路径，有效地避免了初学者在纯粹的符号迷宫中迷失方向。对于有志于从事前沿研究的人士来说，这本书提供的工具集是无可替代的基石，它让你在面对前人尚未触及的领域时，能够自信地依靠其强大的逻辑支撑进行探索。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格如同一个经验丰富、洞察秋毫的导师在耳边细细道来，没有丝毫的生硬与说教感。它的叙事节奏把握得恰到好处，高潮迭起却又不失平稳过渡。我尤其赞赏它对历史背景的穿插介绍，每当引入一个新的重要概念时，作者总能巧妙地植入相关数学家的心路历程或他们面对的时代困境。这种“人本”的叙述方式，极大地缓解了纯粹符号推导带来的枯燥感，让我真切地感受到，这些抽象的工具箱是如何一步步被人类的智慧所锻造出来的。在处理那些跨学科概念的边界时，作者展现了惊人的广度和深度，将理论与其他学科（比如物理学中的某些极限情况或信息论中的信息度量）进行类比，这种“触类旁通”的手法，极大地拓宽了我的理解维度。阅读这本书的过程，与其说是学习知识，不如说是一场与数学思想的深度交流，它教会我的不仅仅是“是什么”，更是“为什么会是这样”，以及“在何种条件下它依然有效”。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的最大感受是其卓越的结构完整性，仿佛它描绘的是一张已经完成的、逻辑自洽的宏伟蓝图。作者在全书的组织上采取了一种递进式的、螺旋上升的结构，每一个引入的概念都不是孤立的，而是作为后续更深层次讨论的必要前置条件。最让我印象深刻的是它对“收敛性”这一核心主题的处理，作者通过一系列不同度量空间下的实例对比，清晰地展示了拓扑结构选择对结论稳定性的决定性影响。书中对反例的选取也颇为精妙，那些看似微小的差异，却能引出截然不同的数学结论，这种对“边界条件”的敏感性教育，是任何浅尝辄止的教材所无法比拟的。每当我认为自己已经完全掌握了某个工具时，下一章总会以一种意想不到的方式，展示出这个工具在更广阔的背景下所能解决的新问题，这种持续的知识刷新感，让人欲罢不能，也让我对数学这门学科的博大精深有了更深的体会。

评分☆☆☆☆☆

我将其视为一本“内功心法”级别的著作。它不太像那些面向入门的“招式教学”类书籍，它更侧重于锤炼读者的数学思维的韧性和弹性。它的论证往往非常简洁，但这种简洁背后是无数次思想的提炼。当我尝试用自己的语言复述书中的某个复杂概念时，我发现自己必须调用更深层次的抽象能力，才能准确地抓住其精髓，而这种反复的内化过程，正是功力增长的体现。书中对某些概念的定义，那种教科书式的精确和无可辩驳，让人感觉这些概念仿佛是自然界中早已存在的规律，只是被作者用最恰当的语言捕捉了下来。这本书的价值，并不在于你能在短时间内记住多少公式，而在于它如何重塑你思考问题的方式——它训练你从“例子”走向“一般性”，从“直觉”走向“证明”，这是一种思维习惯的根本性转变，对于任何需要严密逻辑支撑的领域，都是一笔宝贵的财富。