索伯列夫空间导论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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陈国旺 著

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• 偏微分方程
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• 数学
• 高等教育
• 理论基础
• 应用数学

店铺： 悦读时代图书专营店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030382399

商品编码：17569806357

包装：平装

出版时间：2016-05-03

基本信息

书名：索伯列夫空间导论

定价：118.0元

作者：陈国旺

出版社：科学出版社

出版日期：2016-05-03

ISBN：9787030382399

字数：460

页码：

版次：31

装帧：平装

开本：B5

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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内容提要

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目录

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作者介绍

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文摘

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精彩页

序言

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索伯列夫空间导论：纯粹数学的基石与应用边界 本书旨在为读者构建一个全面而深入的索伯列夫空间（Sobolev Spaces）理论框架。索伯列夫空间，作为泛函分析和偏微分方程领域的核心工具，是函数空间理论中最重要的拓展之一，它为处理那些在传统勒贝格空间（$L^p$）中不具备经典意义的函数（尤其是那些“弱导数”存在的函数）提供了坚实的数学基础。 全书的结构设计遵循从基础概念的精确定义到高级理论的深入探讨，再到其在现代科学中的实际应用的递进路线。我们力求在保持理论严谨性的同时，辅以大量的例子、反例以及直观的几何解释，以期帮助初学者跨越理解的门槛，并为专业研究人员提供可靠的参考。 第一部分：基础工具箱的构建 本部分专注于铺设理解索伯列夫空间的必要数学基础，确保读者对泛函分析和测度论的核心概念有扎实的掌握。 第一章：泛函分析与测度论回顾 我们从回顾勒贝格积分和$L^p$空间开始，精确定义范数、内积以及完备性，这是索伯列夫空间作为巴拿赫空间（或希尔伯特空间）的基础。随后，我们将聚焦于分布（Distributions）的概念。分布理论是理解“弱导数”的先决条件。我们详细阐述了测试函数空间 $mathcal{D}(Omega)$ 的拓扑结构，并严格定义了连续线性泛函——分布——的内涵。特别地，我们对比了经典导数与分布意义下的导数在简单函数上的差异，为引入弱形式的偏微分方程（PDEs）埋下伏笔。 第二章：弱导数的引入与索伯列夫空间的严格定义 这是全书的核心基础章节。我们将给出弱导数（Weak Derivative）的精确定义：一个函数 $u$ 在 $Omega$ 上对某个分量的弱导数 $v$ 满足一个特定的积分恒等式，该恒等式依赖于测试函数。我们论证了弱导数如果存在，则是唯一的（在 $L^p$ 意义下）。 在此基础上，我们正式定义一阶索伯列夫空间 $W^{1,p}(Omega)$：它由所有 $L^p(Omega)$ 中的函数 $u$ 组成，其所有一阶弱偏导数也属于 $L^p(Omega)$。空间 $W^{1,p}(Omega)$ 被赋予一个自然的范数结构，即： $$|u|_{W^{1,p}(Omega)} = |u|_{L^p(Omega)} + sum_{i=1}^n |partial_i u|_{L^p(Omega)}$$ 我们证明了在这一范数下，$W^{1,p}(Omega)$ 构成一个巴拿赫空间。对于 $p=2$ 的情况，即希尔伯特空间 $H^1(Omega)$，我们探讨了其内积结构，并展示了它与傅里叶变换的紧密联系。 第二部分：嵌入定理与空间性质 索伯列夫空间的关键价值在于其强大的正则性（Regularity）性质。本部分深入探讨了这些性质，特别是著名的索伯列夫嵌入定理。 第三章：嵌入定理：从 $W^{k,p}$ 到连续性 嵌入定理是连接弱解的存在性和解的实际可微性的桥梁。我们首先讨论了迹（Trace）的概念，即如何在边界 $partial Omega$ 上定义函数的值。 随后，我们阐述了索伯列夫嵌入定理的完整表述。该定理根据维度 $n$、$k$（导数的阶数）和 $p$（积分指数）之间的关系，精确地描述了 $W^{k,p}(Omega)$ 如何嵌入到 $L^q(Omega)$ 或更高级的空间 $C^alpha(Omega)$ 中。我们详细分析了临界指数和亚临界指数的情况，并对嵌入的“紧致性”进行了讨论。为理解嵌入定理的深度，我们引入了莫雷-内塔纳（Morrey-Nirenberg）不等式，它在几何分析中具有特殊地位。 第四章：紧致性与黎蒙收敛 继承嵌入理论，本章专注于描述索伯列夫函数序列的“收敛性”。我们定义了 黎蒙收敛（Rellich-Kondrachov 紧致性定理：在特定条件下，从 $W^{k,p}(Omega)$ 到 $L^p(Omega)$ 的嵌入是紧的。这个定理是证明变分法（如极小曲面问题）解的存在性的核心工具。我们通过对测试函数空间的构造和对权重函数的选择，展示了紧致性如何在有限维子空间上得以体现。 第三部分：高级结构与应用 本部分将理论推向更复杂的领域，并展示索伯列夫空间在实际科学问题中的应用。 第五章：更高阶索伯列夫空间与混合指数 我们推广了定义至任意阶 $k$，定义 $W^{k,p}(Omega)$，并探讨了多重指标（Multi-indices）下的偏导数结构。在 $k>1$ 的情况下，不同阶数导数之间的交互作用变得复杂。本章还涵盖了分数阶索伯列夫空间的构造，主要通过傅里叶变换或半群理论来实现，这在描述具有记忆效应的物理系统中非常重要。 第六章：边界值问题与变分法 索伯列夫空间是解决线性与非线性偏微分方程（PDEs）的天然框架。我们详细分析了拉普拉斯方程 $Delta u = f$ 在有界域上的弱解理论。通过引入与边界条件相容的特定函数空间（如具有零迹的 $W_0^{1,p}(Omega)$），我们运用庞加莱不等式（Poincaré Inequality），将变分形式转化为适当的椭圆型算子，并利用Lax-Milgram 定理（针对 $p=2$）或更一般的布雷齐斯（Brezis）单调算子理论来证明弱解的存在性、唯一性和先验估计。 第七章：非线性问题与正则性提升 对于非线性PDEs，例如泊松方程的非线性版本或非线性弹性理论，我们需要更强的正则性来保证解的性质。本章探讨了正则性提升（Regularity Estimates）。我们分析了如何利用解在 $W^{k,p}$ 空间中的信息，来推导出解在更高阶导数意义下的存在性。这包括对非线性项的梯度进行更精细的控制，并引入Morrey 空间作为中间工具，以解决例如具有不规则边界或非光滑右端项的问题。 全书旨在为读者提供一个严谨、完整且富有洞察力的索伯列夫空间理论指南，使读者能够自信地将其应用于现代数学物理、工程计算和数据科学中的复杂问题求解。

评分☆☆☆☆☆

这本书，说实话，拿到手里的时候，我有点懵。封面设计得挺有年代感，像那种八十年代的理工科教材，配色是那种老式的米白和暗红，字体也带着一股子严肃劲儿。翻开目录，那一长串专业名词就开始轰炸我的大脑，什么“拓扑结构”、“泛函分析”、“测度论”，看得我心里直打鼓。我本来是想找本能稍微入门点、图文并茂的介绍，结果这本给我的感觉，更像是直接把我丢进了研究生二年级的课堂里，连预习材料都没给。不过，冲着这名字里“导论”两个字，我还是鼓足勇气翻了进去。第一章的开篇就没绕弯子，直接切入到公理化体系的构建，讲的是基础概念的严谨定义，这对于习惯了讲故事和循序渐进的现代科普读物来说，简直是天书。我不得不承认，作者的功底深厚是毋庸置疑的，每一个定义、每一个定理的表述都像雕刻出来的一样精准无误，但对于一个非专业人士来说，这种精准更像是一种高墙，让我望而却步。我花了整整一个下午，才勉强啃下前三页，感觉就像是在攀登珠穆朗玛峰的底线，每一步都走得异常艰难，需要反复查阅中学时代就忘得差不多的数学知识点，才能勉强跟上作者的思路。这本书显然不是为我这种业余爱好者准备的，它面向的是那些已经对数学有一定基础，渴望深入理解某个特定领域底层逻辑的读者。

评分☆☆☆☆☆

这本书在排版和插图的使用上，也体现出一种极简主义到极致的风格。我可以毫不夸张地说，这本书的插图数量，可能比我翻过的其他任何一本数学专业书都要少得多。大部分的篇幅都是密密麻麻的文字和公式，偶尔出现一个图表，也往往是抽象的几何图形，几乎没有提供任何直观的视觉辅助来解释复杂的空间操作或变换。作者似乎完全信任读者的空间想象能力，认为任何概念都可以纯粹通过符号和语言来描述和理解。这无疑是对数学思维的最高挑战——要求读者在大脑中构建一个没有视觉参照物的复杂多维模型。我尝试着在空白处画图来辅助理解，但很快就发现，我的手绘能力根本无法捕捉到作者笔下那种抽象层次的精髓。这种对“视觉辅助”的彻底摒弃，让这本书的阅读体验变得异常依赖于内在的抽象思维能力，也让它更加偏向于理论推导的纯粹探讨。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格，简直可以用“惜墨如金”来形容，而且是到了近乎冷酷的程度。每一页的篇幅里，信息密度高得令人发指，几乎没有一句“闲聊”或者“背景介绍”。作者似乎完全默认读者已经知道一切背景知识，直接从核心问题出发，用最简洁的数学语言进行论证。我记得看到某个关于边界条件设定的部分时，作者只是轻描淡写地用了半行字来描述一个极其复杂的限制，然后立即跳到了证明的下一阶段。这对于追求细节和语境的读者来说，简直是一种折磨。我需要不断地停下来，在脑子里快速回溯之前学到的知识，试图将这零碎的论述串联成一个完整的逻辑链条。它就像一本高度浓缩的精华液，每一滴都价值连城，但你得有能力去消化它。我试着用笔记本记录关键步骤，结果光是抄写公式和符号就已经占满了整本活页纸，而我甚至还没搞清楚这些符号的实际几何意义是什么。这本书的魅力在于其绝对的纯粹性，它不试图取悦任何人，只对真理负责，但这代价就是极高的阅读门槛。

评分☆☆☆☆☆

与其他我读过的任何数学类书籍相比，这本书的结构组织方式显得格外独特，或者说，是异常“线性”和“内向”。它几乎完全依赖于前文建立的框架，如果前面的概念没有吃透，后面的内容就完全失去了意义。这不像很多教材会用章节作为相对独立的模块，提供一些复习和回顾，这本书更像是一根不断收紧的绳索，一旦某个环节松懈，你就会被整个体系抛弃。我发现自己经常需要不断地翻回到几十页甚至上百页之前，去核对一个符号的定义，或者一个引理的应用条件。这种频繁的来回跳转，极大地打断了阅读的流畅性，也让我对整体的把握感到非常吃力。它更像是为那些需要将这本书作为参考手册，而不是作为初次学习材料的人准备的。每一个证明步骤都如同严密的齿轮咬合，缺少任何一个都会导致整个逻辑链条的断裂，这种结构上的严谨性，让人敬畏，但也让人感到透不过气。对于习惯了结构化学习的读者来说，这本书的这种“一脉相承”的写法，需要极强的专注力和对全局的预判能力。

评分☆☆☆☆☆

读完前三分之一，我不得不承认，我在这本书里感受到的“挫败感”是前所未有的。这种挫败感并非源于内容太难而无法理解，而是源于阅读过程中的“不适感”——它拒绝做任何妥协。这本书没有提供任何“友好”的入口，它像是直接把一个复杂的机器零件丢在你面前，要求你马上学会如何操作它，而不是先给你一本操作手册。我感觉自己像是一个被丢到深海里的游泳健将，周围是无边的蓝色，我必须依靠自己储存的所有知识储备，才能勉强维持在水面上。它更像是一份高度专业化的技术文档，而不是一本旨在普及或引导的“导论”。因此，我认为这本书的真正价值，或许并不在于提供一个轻松愉快的学习体验，而是在于它提供了一种无可辩驳的、高度提炼的知识结构。它要求读者拿出百分之二百的努力和背景知识储备，去迎接一场智力上的硬仗，而一旦你能够跟上节奏，那种清晰、冷峻的逻辑之美，或许也只有在这般严苛的环境下才能被真正领悟到。