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斯蒂芬·弗莱彻·休森 著

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出版社： 上海科技教育出版社

ISBN：9787542849816

商品编码：25573570203

出版时间：2010-11-03

数学桥:对高等数学的一次观赏之旅 作  者:斯蒂芬·弗莱彻·休森 著作 定  价:59 出 版 社:上海科技教育出版社 出版日期:2010年11月03日 ISBN:9787542849816 《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》是由上海科技教育出版社出版的。 ●序言
●1.数
●1.1计数
●1.1.1自然数
●1.1.1.1自然数的构造
●1.1.1.2算术
●1.1.2整数
●1.1.2.1零和负整数的性质
●1.1.3有理数
●1.1.4序
●1.1.4.1使N，Z和Q有序
●1.1.5从一到无穷大
●1.1.5.1无穷集的比较
●1.1.6无穷算术
●1.1.7
●1.2实数
●1.2.1怎样产生无理数
●1.2.1.1实数的代数描述
●1.2.2有多少个实数
●1.2.3代数数和数
●部分目录

内容简介

《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》是一本*一无二的数学书。它不是教科书，也不是普及书，而是一本介于这两者之间的“普及性教科书”。它以高中数学为起点，用一种娓娓道来、徐徐展开的方式，向你展示大学数学中的核心内容和亮点，让你欣赏许多令人惊叹的结果，领略它们的自然之美和实用价值。《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》好比一座数学桥，它帮你从以重复性解题操练为基础的高中数学，平安顺利地过渡到以系统性思想探究为主旨的高等数学。如果你即将或正在学习高等数学，那么《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》将是你学习道路上的好伴侣；如果你已经学完了高等数学，那么不妨也来浏览一下，你很可能会说：“哎呀，原来是这么回事！” 斯蒂芬·弗莱彻·休森 著作 作者：（美国）斯蒂芬·弗莱彻·休森译者：邹建成杨志辉刘喜波等注释解说词：朱惠霖

数学桥：对高等数学的一次观赏之旅 (不含此书内容) 探索无界之境：一部关于集合论基础与数理逻辑的恢弘画卷 本书旨在带领读者进行一次深入而精妙的抽象思维之旅，探索那些支撑起整个现代数学大厦的基石——集合论和数理逻辑的宏伟结构。我们不涉及高等数学中微积分、线性代数或微分方程的具体计算技巧，而是将焦点投向那些定义“数”、“证明”和“真理”本身的底层逻辑框架。 第一部分：从直觉到公理——集合的构建与悖论的驯服 我们将从最朴素的“集合”概念出发，回顾朴素集合论在十九世纪末期所遭遇的深刻危机。从罗素的理发师悖论到布朗的集合悖论，这些逻辑上的“怪圈”迫使数学家们寻求一个更稳固的基石。 本部分将详尽介绍策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的公理系统。我们将逐一剖析每一条公理的意义，它们是如何像精密的砖石一样，共同构建起一个可以容纳所有已知数学对象的宇宙。 外延性公理与分离公理： 如何定义集合的相等性以及如何从既有集合中“筛选”出特定子集，保证我们不会凭空创造出矛盾的集合。 配对公理与并集公理： 描述集合的生成方式——如何将两个集合组合成一对，或如何将一族集合合并为一个更大的集合。 幂集公理： 深入探讨幂集的幂大性，这是理解无穷大不同“尺寸”的关键一步。我们将详细解析为什么幂集操作总能生成一个比原集合“更大”的集合。 替换公理与选择公理（AC）： 这两项公理在构建复杂结构和定义良序等方面至关重要。我们将重点讨论选择公理的深远影响，例如它如何等价于良序定理和策恩引理，以及它们在分析学和代数中扮演的非构造性角色。 通过对ZFC的深入解析，读者将清晰地看到，我们今天所使用的所有函数、序列、向量空间乃至拓扑结构，最终都可以被还原为由这些基本公理所定义的集合关系。 第二部分：逻辑的语言——命题演算与一阶谓词演算的严谨性 数学的本质是严密的证明。本部分将转换视角，从集合对象转向形式逻辑系统，这是确保所有数学推导都无可指摘的工具。 命题演算（Propositional Logic）： 我们将系统地学习如何将自然语言陈述转化为符号语言。重点讲解连接词（与、或、非、蕴含、等价）的真值表，以及如何构建永真式（重言式）和矛盾式。我们将讨论演绎推理规则，如肯定前件（Modus Ponens）和肯定后件（Modus Tollens）的精确应用。 一阶谓词演算（First-Order Logic）： 命题演算的局限性在于无法处理量词（“所有”和“存在”）。本部分将引入个体、谓词、函数符号和量词，构建更强大的描述工具。读者将学习如何精确地用逻辑语言表达诸如“对于所有实数 $x$，存在一个实数 $y$ 使得 $y > x$”这样的复杂陈述。 语义与句法： 我们将探讨模型论的基础概念。一个逻辑公式在特定结构（模型）下是否为真（语义）？如何通过有限的推理规则推导出新的结论（句法）？我们将分析“可靠性”（Soundness，所有可证的都是真的）和“完备性”（Completeness，所有是真的的都可以被证明）的意义，这是形式系统效能的两个核心指标。 第三部分：不可判定性与数学的边界 在建立了坚实的集合论基础和逻辑工具之后，我们将转向探索数学自身的极限——哥德尔不完备性定理。 我们将详细剖析哥德尔第一不完备性定理：在一个足够强大的、能包含基本算术的（如ZFC）形式系统中，如果该系统是一致的，那么必然存在在该系统中既不能被证明为真也不能被证明为假的命题。我们将探讨“可算性”和“编码”在证明该定理中的核心作用。 随后，我们将触及图灵机和可计算性理论的先驱思想，尽管不深入计算复杂性，但我们将讨论为什么有些数学问题（如停机问题）被证明是不可判定的，这揭示了计算和逻辑推理的根本界限。 结论：超越计算，回归洞察 本书的最终目标是培养读者对数学结构本质的深刻洞察力。我们通过剥离高等数学中所有依赖具体数值的计算层面，直抵其逻辑的骨架。读者将理解，数学不仅仅是解题的艺术，更是一门关于精确定义、严格推理和探索形式系统边界的哲学科学。 本书内容专注于元数学（Metamathematics），而非应用性计算，适合那些对数学的“为什么”而非“如何做”抱有强烈好奇心的学习者。通过对这些基础概念的掌握，读者将能以前所未有的深度理解后续任何高级数学分支的严谨性与内在张力。

评分☆☆☆☆☆

这本书真是让人耳目一新！我原本对高等数学抱持着一种敬而远之的态度，总觉得那是一片充满抽象符号和复杂推导的荒漠。然而，这本《数学桥》就像一位技艺高超的向导，带着我们穿过了那些看似难以逾越的障碍。它没有一上来就抛出那些让人头晕目眩的定义和定理，而是巧妙地将数学概念融入到引人入胜的故事和生动的例子中。比如，它解释微积分的核心思想时，不是直接给出极限的epsilon-delta定义，而是通过描述一个物体速度变化的微妙过程，让我们自然而然地理解了“瞬时变化率”的含义。阅读的过程更像是一场思维的探险，每翻开一页，都有新的发现和豁然开朗的感觉。作者的笔触细腻且富有洞察力，总能精准地捕捉到初学者在学习过程中可能产生的困惑点，并提供最恰当的解释。这种以“观赏”为导向的叙事方式，极大地降低了学习的心理门槛，让我体会到数学本身所蕴含的美感与逻辑的和谐统一。它成功地架起了一座坚实的桥梁，连接了高中数学的知识与大学阶段那宏大而精妙的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书的文风有一种老派的优雅，但内容却无比现代和贴近生活。我发现自己常常会停下来，不仅仅是为了理解一个公式，而是为了回味作者描述某个数学家心路历程时的那种旁征博引。例如，书中提到伽罗瓦理论的诞生，不仅仅是介绍其结论的颠覆性，更细腻地描绘了那位年轻天才在短暂生命中对数学边界的挑战与突破。这种人文关怀与纯粹逻辑的结合，让枯燥的数学命题变得有血有肉，充满了戏剧张力。与那些只关注“如何解题”的书籍不同，这本书更注重“为什么会这样想”的过程。它引导我们去感受数学家们在迷雾中摸索、最终点亮真理火花时的那种激动。每次读完一个章节，我都会感觉自己不仅仅是学到了一个数学知识点，而是参与了一次伟大的智力发现之旅。这本书让我重新燃起了对探索未知的热情，那份宁静而强大的求知欲，正是它给予读者的最大馈赠。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值在于，它提供了一种全新的“阅读体验”而非“学习体验”。我以往阅读数学类书籍，总是在努力“记住”和“应用”，而阅读《数学桥》时，我的主要任务是“品味”和“共鸣”。它在讨论集合论的基数时，那种对无限层级差异的描述，其美感不亚于读到最精妙的诗歌。它对拓扑学中连续形变的阐释，更是将三维世界的刚性打破，展现了一种流动的、可以被任意拉伸和扭曲的几何直觉。这种体验让我意识到，数学的真谛在于其形式的优雅和逻辑的纯粹，而非其计算的复杂性。作者似乎深谙此道，他用一种近乎散文的笔法，将那些冰冷的符号赋予了生命和温度。阅读过程中，我的思绪时常会飘远，去想象那些古代的数学家们是如何在那个没有现代工具的时代，仅凭纯粹的理性之光，开创出如此宏伟的体系。这本书，无疑是献给所有对知识抱有敬畏之心，渴望领略科学之美的读者的绝佳伴侣。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我拿到这本书的时候，内心是充满怀疑的。市面上关于“趣味数学”的书不少，但真正能深入浅出又不失严谨性的作品凤毛麟角。这本书的厉害之处在于它的“非功利性”叙事结构。它不是一本教科书，不以考试为导向，因此作者可以完全抛开应试教育的束缚，专注于展现数学思想的内在逻辑和历史脉络。我特别喜欢它对一些经典数学问题的哲学层面的探讨，比如“无穷大”的概念是如何一步步被人类所接受和驯服的。作者似乎在提醒我们，数学不只是工具，它更是一种看待世界的独特视角。书中的插图和图表设计得非常考究，虽然不是直接展示公式推导，但它们以一种视觉化的方式强化了抽象概念的空间感和运动感。读完之后，我感觉自己对数学的理解不再停留在计算层面，而是上升到了对数学“思想”的欣赏。这本‘桥’名副其实，它让我看到了知识的彼岸，而不是仅仅在桥面上徘徊。

评分☆☆☆☆☆

我一直以为，要真正欣赏高等数学的精妙，必须拥有扎实的微积分基础，否则任何深入的探讨都只是空中楼阁。但这本书彻底颠覆了我的认知。它的叙述策略是“先见景，后修路”。它先展示了某个高深数学概念在现实世界（或者说在科学模型中）的迷人应用场景——可能是物理学中的波动、可能是经济学中的最优决策，甚至是艺术设计中的黄金比例——让你对那个概念产生强烈的“拥有欲”。然后，作者才会耐心地、从最基础的直觉出发，为你铺设通往那个概念的每一步阶梯。这种“需求驱动”的学习路径，比传统教材那种“定义先行，然后应用”的方式要高效且令人愉悦得多。它就像一个顶级的导游，永远知道游客最想看的是什么，并且总能用最省力的路线带你到达最佳观景点。书中的语言精确而不生硬，它总能找到一个完美的平衡点，让你既感到被挑战，又深知自己有能力跨越鸿沟。