微积分学导论下册（第2版） [Introdution to Calculus] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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中国科学技术大学数学科学学院 编

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• 第2版
• Introduction to Calculus

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312038693

版次：2

商品编码：11878848

包装：平装

丛书名： “十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 ，

外文名称：Introdution to Calculus

开本：16开

出版时间：2016-01-01

用纸：胶版纸

页数：371

字数：459000###

内容简介

　　《微积分学导论》是在中国科学技术大学高等数学教研室编写的《高等数学导论》基础之上，由参与微积分教学多年的教师分工编写而成的，内容结构方面得以重新组织和优化，而且部分过于烦琐的内容也得到了删除或简化，以适应当今理工科数学教育的发展，并满足培养学生的要求.分上、下两册出版，内容包含微积分学的核心内容及其应用.
　　《微积分学导论下册（第2版）》是下册，内容包括多变量函数的微分学、多变量函数的积分学、无穷级数、含参变量积分、傅里叶分析等五章.《微积分学导论下册（第2版）》的编写充分考虑了学生的背景和认知水平，尽量由具体问题引入数学概念，同时采用语言描述、公式表达、数值列表以及图形说明等多种方式，以使抽象深奥的数学概念、思想和方法变得具体、生动、形象和直观.为加深对概念、定理等的理解和掌握，书中编有丰富的例题，并有详细的解答，可给学生提供一个分析问题和解决问题的范本；还提供了大量的习题和复习题供学生练习；另外，每章末的复习都很好地总结了该章的内容，以供学生参考和总结.
　　《微积分学导论下册（第2版）》可作为理工科院校非数学专业或师范类院校数学专业的教材或教学参考书，也可供具有一定数学基础的读者自学，

内页插图

目录

总序
第2版前言
前言

第6章 多变量函数的微分学
6．1 多变量函数的极限与连续
6．1．1 平面点集
6．1．2 二元函数的极限
6．1．3 二元函数的连续性
6．1．4 多元函数与向量值函数
6．2 多变量函数的微分与偏导数
6．2．1 二元函数的微分与偏导数
6．2．2 高阶偏导数
6．2．3 多元函数和向量值函数的微分与偏导数
6．3 复合函数的偏导数
6．3．1 复合函数偏导数的链式法则
6．3．2 复合函数的高阶偏导数
6．3．3 一阶微分的形式不变性
6．4 隐函数与反函数的微分法
6．4．1 隐函数的存在定理与微分法
6．4．2 反函数的存在定理与微分法
6．5 多元函数的泰勒公式与极值
6．5．1 二元函数的泰勒公式
6．5．2 多元函数的极值
6．5．3 条件极值
6．6 空间中的曲线与曲面
6．6．1 参数方程表示的空间曲线
6．6．2 参数方程表示的空间曲面
6．6．3 隐函数表示的曲面及曲线
复习

第7章 多变量函数的积分学
7．1 二重积分
7．1．1 二重积分的概念和性质
7．1．2 二重积分的累次积分法
7．1．3 二重积分的变量代换
7．1．4 广义二重积分
7．2 三重积分
7．2．1 三重积分的概念和性质
7．2．2 三重积分的累次积分法
7．2．3 三重积分的变量代换
7．3 第一型曲线和曲面积分
7．3．1 空间曲线的弧长
7．3．2 第一型曲线积分
7．3．3 曲面的面积
7．3．4 第一型曲面积分
7．4 重积分、线积分、面积分的应用
7．4．1 重心和转动惯量
7．4．2 物体的引力
7．5 第二型曲线积分与格林公式
7．5．1 曲线的定向
7．5．2 第二型曲线积分
7．5．3 格林公式
7．6 第二型曲面积分、高斯公式和斯托克斯公式
7．6．1 曲面的定向
7．6．2 第二型曲面积分
7．6．3 高斯公式
7．6．4 斯托克斯公式
7．7 场论初步
7．7．1 场的概念
7．7．2 数量场的梯度
7．7．3 向量场的散度
7．7．4 向量场的旋度
7．7．5 保守场与势函数
7．7．6 无源场与向量势
7．7．7 哈密顿算符
复习

第8章 无穷级数
第9章 含参变量积分
第10章 傅里叶分析
附录外微分形式
参考答案
索引

前言/序言

　　本教材是在中国科学技术大学高等数学教研室编写的《高等数学导论》基础之上编写而成的。而《高等数学导论》脱胎于中国科学技术大学成立之初由曾肯成教授主编的《高等数学讲义》，是20世纪80年代由当时的任课教师集体改编而成的。这两部教材在中国科学技术大学的教学历程中都起到了积极的作用，培养了一批又一批学子，功不可没，随着时代的发展，《高等数学导论》改编重版的必要性就显得越来越紧迫了，这主要表现在以下几点：
　　（1）《高等数学导论〉自1988年出版以来，已经二十多年了，虽然这二十多年中有过修改，但只是对错漏的订正。后来为了适应中国科学技术大学学制“五改四”的需要，教学课时和周期大大缩减，将原三册改为上、下两册出版，但是由于种种原因教材内容和结构等基本没有变动，所以，一直以来我们想对《高等数学导论》从内容方面重新撰写，并从结构方面重新组织和优化，添加一部分新内容，删除或简化一部分过于烦琐的内容，以适应今天培养大学生的要求。在本教材中有若干定理的证明加上了星号*，表示该证明利用了后面的结论或者附录中的结论，对于课时比较紧张的课堂，可以只要求学生会利用该定理的结论即可，定理证明的细节可以跳过；还有若干小节加上了星号*，表示在课时比较紧张时，可以跳过该小节内容的学习，而不影响微积分学核心内容的学习和理解，也可以安排为课外阅读内容，由授课教师根据教学进度以及学生的接受能力等决定取舍。
　　（2）《高等数学导论〉包括解析几何和向量代数的内容，但现在这些内容已经划归为“线性代数”课程的一部分，所以应该从微积分课程中删除掉；还有一些内容也要删除，比如实数的完备性等，由于非数学系学生对于数学逻辑证明的接受能力以及教学时间紧迫等原因，这些内容一般在课堂上不予讲授，但还穿插在教材的正文部分，使学生陷入“学”与“不学”的两难境地，给学生带来困惑，给教学带来麻烦。本教材将改写后的实数构造理论以及实数完备性的几个等价定理，放入附录之中，可供对之感兴趣而又学有余力的学生学习。当然这些内容对于理解建立在实数基础之上的极限理论，乃至整个微积分学都有很大的帮助。本教材将原来分别编写在上、下两册的可积常微分方程和线性微分方程两部分内容进行整合，统一纳入到上册的“微分方程”一章，这样有利于教学安排，节省课时，又方便学生学习理解。同时，由于上册没有讲授幂级数知识，所以应用幂级数求解方程的内容将放入幂级数的应用之中讲授。本教材还纠正了《高等数学导论》中若干错漏之处。
　　（3）钱学森先生是中国科学技术大学近代力学系首任系主任，他对非数学系用的微积分教材的编写有过指导性建议：既要写出从哪儿来，即数学概念的“来龙”，也要写出到哪儿去，也就是用在什么地方，即数学知识的“去脉”，钱老的这些意见是我们写作本书始终遵守的原则。在教材编写过程中，我们充分考虑学生的背景和认知水平，尽量由具体问题引入数学概念，同时辅以几百张图片，以使那些抽象深奥的数学概念、思想和方法变得具体、生动，形象和直观，对于微积分学中的概念、思想和方法的物理和几何背景与解释，与数学其他分支之间的联系以及理论和重要公式之间的联系都适当地写入本教材之中，以帮助学生理解，使其不但知其然，也知其所以然。数学理论学习之后，本教材都有意地编排一些物理和几何甚至是生活中的具体应用问题，对这些问题的分析和解决，可以培养学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力，激发其学习数学的兴趣。
　　（4）华罗庚先生是中国科学技术大学应用数学和计算技术系的首任系主任，他亲自写作的《高等数学》在内容的取舍和写作方法以及叙述论证的风格等方面始终是我们本书写作过程中模仿的楷模，我们尽量做到核心知识突出，理论体系脉络清晰，简繁适当，论证简洁清楚，枝节问题一笔带过，例题针对性强，并且分析透彻，能起到举一反三的作用，应用问题紧贴知识主题且分析细致，在每一章之末，专门编写本章复习。首先，将本章内容作提纲挈领性的回顾，这就是华老提出的“由厚到薄”的学习过程；其次，提出一些与正文内容紧密相连的复习思考题，以利于学生对自己的学习掌握情况作检验，引导学生再“由薄到厚”。同时，本教材用许多开放式的思考题引导学生将数学与其他自然科学以及日常生活紧密地联系起来，增强其学习兴趣；最后，附有一定量的具有较强综合性的复习题，帮助学生将所学知识融会贯通，提高自己解决问题的能力，其中不乏近年来的考研试题。
　　本书由长期参加中国科学技术大学微积分课程教学的老师们编写而成。他们是陈祖墀教授、李思敏教授，以及宣本金、罗罗、叶盛、汪琥庭及吴健等副教授，宣本金绘制了全书插图。
　　在此，我们对在编写本教材过程中所有给予过帮助的同事和朋友表示衷心的感谢，特别对编写《高等数学导论》的同事们表示感谢，初写《微积分学导论》，错误和不足之处在所难免，还望广大专家和读者给予指正。
　　作者
　　2011年5月
　　中国科学技术大学

微积分学导论下册（第2版） 《微积分学导论下册（第2版）》是一本系统性地讲解微积分学核心概念和方法的重要教材。本书在第一册的基础上，深入探讨了微积分更高级的主题，旨在为读者打下坚实的数学基础，培养严谨的逻辑思维和解决实际问题的能力。全书逻辑清晰，循序渐进，既注重理论的深度，又不乏实践的应用，是学习微积分不可或缺的参考书。 上册回顾与下册展望 在前一册中，我们已经学习了函数、极限、导数及其应用。我们理解了导数作为瞬时变化率的概念，并掌握了如何利用导数分析函数的单调性、凹凸性，求解极值问题，以及应用牛顿法等数值方法。我们还初步接触了积分的概念，理解了不定积分和定积分的几何意义。 本下册将在此基础上，展开更为广阔的数学天地。我们将深入探索定积分的性质与计算方法，并将其推广到更复杂的应用场景。多变量函数的微积分将是本册的重点，我们将学习多元函数的极限、连续性、偏导数、梯度、方向导数以及多元函数的极值问题。此外，曲线积分、曲面积分和向量微积分也将为我们打开新的视角，理解和描述三维空间中的物理现象。 核心内容深度解析 第一部分：定积分的理论与计算 定积分的严谨定义与性质： 本章将回顾并深化定积分的黎曼和定义，深入理解定积分的几何意义，如面积、体积、弧长等。我们将详细探讨定积分的线性性质、区间可加性、保号性、估值不等式等关键性质，为后续计算和应用奠定理论基础。 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）的精要： 微积分基本定理是连接微分和积分的关键桥梁，本章将对其进行深入阐释。我们将详细讲解其两种形式，并演示如何利用它高效地计算定积分。通过大量例题，读者将熟练掌握利用原函数进行定积分计算的技巧。 定积分的计算技巧与方法： 除了利用牛顿-莱布尼茨公式，本章还将介绍多种实用的定积分计算技巧。这包括换元积分法（第一类和第二类换元）、分部积分法在定积分中的应用。我们会分析不同类型积分的特点，指导读者选择最有效的计算策略。 反常积分（广义积分）： 对于积分区间无限或被积函数在积分区间内存在无穷间断点的积分，我们称之为反常积分。本章将严格定义反常积分的收敛性判别方法，包括比较判别法、极限比较判别法等，并介绍一些重要的反常积分（如伽马函数、贝塔函数）及其性质。 定积分的应用： 定积分在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。本章将系统介绍其应用，包括： 几何应用： 计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、曲面的面积。例如，通过定积分计算不规则形状的面积，或通过旋转曲线生成复杂的三维物体的体积。 物理应用： 计算变力做功、压力、质心、转动惯量、引力等。例如，计算在变力作用下物体移动所做的功，或确定不均匀物体的质心位置。 概率统计应用： 连续型随机变量的概率密度函数、期望、方差等。 第二部分：多变量微积分 空间解析几何基础： 在进入多变量微积分之前，本章将回顾和补充必要的空间解析几何知识，包括三维坐标系、向量及其运算、直线和平面方程、曲面方程（球面、椭球面、抛物面、双曲面等）的表示。这将为理解多变量函数提供几何直观。 多元函数及其极限与连续性： 本章将引入多元函数asy_d (x1, x2, ..., xn) 的概念，并定义其极限和连续性。我们将重点关注二元函数的极限，理解多条路径趋近极限点时可能出现不同的极限值，以及如何判断多元函数的连续性。 偏导数与方向导数： 偏导数是研究多元函数变化率的核心工具，表示函数沿着坐标轴方向的变化率。本章将详细讲解偏导数的计算方法，并引入方向导数，表示函数沿着任意方向的变化率。方向导数与梯度向量的关系将得到深入剖析。 梯度、散度与旋度： 梯度向量指示了函数增长最快的方向，其模长表示最大增长率。散度和旋度则是向量场的重要概念，分别描述了向量场在某一点的“源”或“汇”的强度，以及向量场在某一点的“旋转”趋势。这些概念在流体力学、电磁学等领域至关重要。 全微分与高阶偏导数： 全微分是在多元函数中对“总量变化”的度量，其计算与偏导数密切相关。本章还将讨论高阶偏导数，并介绍 Clairaut 定理（对称性定理），即在特定条件下，混合偏导数是相等的。 多元函数的泰勒公式： 类似于单变量函数的泰勒公式，多元函数的泰勒公式提供了用多项式近似函数的方法，这对于函数逼近和数值计算非常重要。 多元函数的极值问题： 本章将重点讲解如何利用偏导数寻找多元函数的局部极值（极大值和极小值）以及鞍点。我们将学习利用海森矩阵（Hessian matrix）的性质来判断极值的类型。 条件极值问题与拉格朗日乘数法： 许多实际问题中的极值约束条件，例如在特定曲面或曲线上寻找函数的极值。拉格朗日乘数法是解决这类条件极值问题的强大工具，本章将详细讲解其原理和应用。 隐函数定理与反函数定理： 这两个定理是多元微积分中非常重要的理论结果，它们提供了关于方程组解的存在性、唯一性和光滑性等信息，是后续更高级理论的基础。 曲线积分： 曲线积分是沿一条曲线进行的积分，它可以用来计算曲线的质量、质心、功等。本章将分别介绍对弧长和对坐标的曲线积分，并探讨它们之间的关系。 曲面积分： 曲面积分是沿一个曲面进行的积分，它可以用来计算曲面的质量、通量等。本章将介绍对面积和对坐标的曲面积分。 向量微积分： 向量微积分将前面介绍的曲线积分和曲面积分有机地结合起来，形成了一系列重要的积分定理，如： 格林公式（Green's Theorem）： 将平面上的线积分与区域内的二重积分联系起来。 高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）： 将空间中的曲面积分与区域内的体积分联系起来，是描述物理守恒定律的重要工具。 斯托克斯公式（Stokes' Theorem）： 将空间中的曲线积分与曲面积分联系起来，是连接场论中不同积分形式的关键。 保守向量场与势函数： 讲解如何判断一个向量场是否为保守场，以及如何找到其势函数。 学习方法与建议 理解而非记忆： 微积分的核心在于概念的理解。对于每一个定理和公式，都要深入探究其几何意义和物理背景，避免死记硬背。 勤加练习： 微积分是一门实践性很强的学科。大量的习题练习是巩固知识、提高解题能力的关键。建议读者在理解概念的基础上，有针对性地进行练习，逐步提高难度。 建立清晰的思维导图： 随着内容的深入，微积分的知识体系会越来越庞大。尝试为每个章节建立清晰的思维导图，理清知识点之间的逻辑关系，有助于整体把握。 善用几何直观： 尤其是在学习多变量微积分时，利用几何图形来辅助理解概念至关重要。尝试画出二元函数图像、梯度向量、向量场等，有助于形成直观的认识。 关注应用： 微积分的强大之处在于其广泛的应用。在学习过程中，尝试将抽象的数学概念与实际问题联系起来，感受微积分在科学和工程中的价值。 及时复习与总结： 定期回顾之前学过的知识，并进行总结，可以帮助读者将零散的知识点串联起来，形成完整的知识体系。 《微积分学导论下册（第2版）》将引领读者进入一个充满魅力和挑战的数学世界。通过对本书内容的深入学习和刻苦钻研，相信读者一定能够掌握微积分的精髓，为未来的学习和研究打下坚实的基础，并在解决各种科学和工程问题时游刃有余。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我一直对微积分的某些部分感到畏惧，尤其是那些涉及抽象证明和复杂计算的部分。《微积分学导论下册（第2版）》彻底改变了我的看法。作者的写作方式非常平易近人，他似乎深知初学者可能遇到的困难，并为此提供了周全的解决方案。他会将复杂的概念分解成更小的、易于理解的部分，并在每一步都提供清晰的解释和必要的铺垫。我尤其喜欢书中关于“直观理解”的强调。在引入一些新的证明方法或技巧之前，作者会花时间解释为什么要这样做，以及这种方法的好处是什么。这种“预习”式的讲解，让我能够更好地理解接下来的内容。书中的图示也做得非常出色，不同于一些教材中简单、生硬的图形，这里的图示更具表现力，能够准确地反映数学对象的内在属性。例如，在讲解曲面积分时，作者绘制了非常逼真的曲面，并用箭头清晰地标示了积分的方向，这让我很快就建立了对这个概念的立体认知。此外，书中的索引和目录也非常完善，查找特定内容非常方便，这对于我这种经常需要回顾知识点的学生来说，无疑节省了大量时间。

评分☆☆☆☆☆

这本《微积分学导论下册（第2版）》给我带来的，是一种沉浸式的学习体验，仿佛置身于一个由数学思想构筑的迷人花园。作者的语言风格并非那种枯燥乏味的学术报告，而是更像一位耐心而富有启发性的导师，在低语着数学的奥秘。他善于使用类比和隐喻，将抽象的数学概念与我们熟悉的世界连接起来，例如，将函数的导数比作速度的变化率，将积分比作累积效应，这些生动的比喻大大降低了理解的门槛。让我印象深刻的是，书中对于定理的陈述不仅仅是罗列，更会深入阐释其产生的背景、实际应用以及与其他数学分支的联系。例如，在介绍傅立叶级数时，作者并没有止步于其数学定义，而是详细讲述了它在信号处理、图像压缩等领域的广泛应用，这让我深刻认识到微积分在现代科技中的核心地位。书中的一些小插画，虽然简单，却恰到好处地传达了数学思想，如利用面积分割来形象地展示积分的思想，或者用曲面的切线来帮助理解多元函数的梯度。这些细节的设计，让学习过程充满了乐趣和惊喜。更重要的是，这本书激发了我对数学的进一步探索热情，让我不再满足于简单的计算，而是渴望去理解数学的深层逻辑和美感。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常吸引人，简洁而又不失专业感。打开第一页，就立刻被其清晰的排版和高质量的纸张所吸引。作为一本教材，其内容呈现方式至关重要，而这本《微积分学导论下册（第2版）》在这方面做得相当出色。字体大小适中，段落分隔清晰，大量的插图和图表穿插其中，极大地增强了阅读的趣味性和理解的直观性。我尤其欣赏作者在讲解抽象概念时，能够巧妙地运用生活中的例子，让原本枯燥的数学原理变得生动起来。例如，在介绍级数收敛性时，作者并没有一开始就抛出复杂的证明，而是通过描述一个不断缩小的物体体积，或者模拟一个不断衰减的信号，来引导读者逐步理解级数收敛的直观意义。这种循序渐进、由浅入深的学习路径，对于初学者来说是极大的福音。此外，书中大量的例题和习题也为我的学习提供了坚实的支持。例题的解析过程详尽，步骤清晰，每一步都标注得非常明确，让我能够跟着作者的思路一步步深入。而习题的设置也兼顾了基础巩固和能力提升，既有帮助理解基本概念的练习，也有挑战思维、拓展视野的应用题。总而言之，这本教材在视觉呈现和内容组织上都做得非常出色，为我的微积分学习之旅打下了良好的基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满好奇但基础相对薄弱的学习者，我一直努力寻找一本能够引导我深入理解微积分的教材。这本《微积分学导论下册（第2版）》正是这样一本我梦寐以求的书。它并非仅仅罗列公式和定理，而是更注重培养读者的数学思维和解决问题的能力。作者在讲解每一个新概念时，都会先从一个实际问题入手，引导读者思考如何用数学工具来解决它，这种“从应用到理论”的教学方法，极大地增强了我的学习兴趣和主动性。书中还穿插了一些“思考题”和“拓展题”，这些题目设计得非常巧妙，能够帮助我巩固所学知识，同时也能激发我对更深层次数学问题的思考。我发现，很多时候，书中的习题答案并不是直接给出，而是引导我思考如何找到答案，这让我学会了独立思考和分析问题。此外，作者在语言的使用上也极具匠心，避免了不必要的学术术语堆砌，使得文章更加流畅易读，就像是在与一位经验丰富的老师进行一次深入的交流。它让我体会到了数学的逻辑之美，也让我对未来的学习充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

从学习体验的角度来说，《微积分学导论下册（第2版）》为我打开了通往更深层次数学世界的大门。尽管之前对微积分已有初步接触，但下册的内容无疑是更具挑战性的。作者的处理方式非常巧妙，他没有急于灌输复杂的理论，而是先通过一些引人入胜的问题来激发读者的探索欲。比如，在讲解微分方程时，作者并没有直接给出各种方程的解法，而是先描述了自然界中一些有趣的现象，例如人口增长、放射性衰变等，然后引导读者思考这些现象背后的数学模型。这种“问题导向”的学习方式，让我觉得数学不再是冰冷的符号和公式，而是解决现实世界问题的有力工具。在具体内容的展开上，作者的逻辑性非常强，每一个概念的引入都建立在前一个知识点的基础上，衔接自然流畅。尤其是在多变量微积分的部分，作者通过三维图形和向量场的生动描绘，让原本抽象的概念变得具象化，我不再是孤立地记忆公式，而是能够理解公式背后所代表的几何意义和物理含义。书中对于证明的讲解也十分细致，对于一些关键步骤，作者会用不同的颜色或字体进行强调，并配以简短的解释，这对于我这样需要反复琢磨才能理解证明过程的读者来说，是极大的帮助。它让我不仅学会了“怎么做”，更理解了“为什么这么做”。

评分☆☆☆☆☆

皱了

评分☆☆☆☆☆

书看了下，真的挺不错，比较适合与其他结合着看

评分☆☆☆☆☆

教材很好，很基础。但是，对于基础不好的，或者说打算对付考试的，此书并不适合。

评分☆☆☆☆☆

Gooooooooooooooooooooooood

评分☆☆☆☆☆

有划痕，边缘缺损

评分☆☆☆☆☆

有划痕，边缘缺损

评分☆☆☆☆☆

Gooooooooooooooooooooooood

评分☆☆☆☆☆

书很经典、好用！！！！！！

评分☆☆☆☆☆

好