量子关联的数学刻画 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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郭钰著 著

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• 算子代数
• 希尔伯特空间
• 量子计算
• 拓扑学
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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030494344

商品编码：25573397838

出版时间：2016-07-01

作  者:郭钰 著 著作 定  价:98 出 版 社:科学出版社 出版日期:2016年07月01日 页  数:271 装  帧:平装 ISBN:9787030494344 ●前言
●第1章预备知识
●1.1量子力学基本假设
●1.2量子信息概述
●1.3偏迹与约化态
●1.4Schmidt分解
●1.5量子操作
●1.6量子纠缠
●1.7PPT判据
●1.8Bell不等式与提纯
●1.9注记
●第2章无限维两体纯态的纠缠判据
●2.1PHC判据
●2.2纯态的重排判据
●2.3无限维系统的CHSH不等式
●2.4纯态可分的若干等价条件
●2.5注记
●第3章无限维两体量子态的RCCN判据
●3.1有限维系统的RCCN判据
●3.2有限维重排运算的若干等价定义
●部分目录

内容简介

量子纠缠是存在于复合量子系统子系统之间的一种量子关联。近年来,人们发现在没有纠缠的情况下仍然有量子关联存在。近30多年来,以量子关联态为载体的信息处理技术在理论和实验上都取得了重要突破。本书主要从数学角度介绍著者近年来对量子关联的研究成果。内容包括量子信息基础理论，纠缠判据，纠缠度，不同于纠缠的若干量子关联，不可扩张基以及各种量子关联在量子信道作用下的演化规律刻画等。

量子纠缠的数学描述：一种超越经典直觉的框架 本书深入探讨了量子信息论中的核心概念——量子纠缠，并对其进行了严格的数学刻画。我们不聚焦于量子物理的具体实验或应用，而是致力于构建和分析支撑量子信息理论的数学结构，为理解和量化纠缠现象提供精确的工具。 第一部分：基础预备与线性代数回顾 本部分旨在为后续复杂的数学讨论打下坚实的基础。首先，我们重温了必要的线性代数知识，重点关注有限维复向量空间（希尔伯特空间）上的算符理论。我们详细讨论了自伴随算符（厄米特算符）、酉算符的性质及其在量子态演化中的作用。 接着，引入了量子信息论中的基本数学对象：量子态。对于一个由$d$维系统组成的复合系统，我们使用张量积$otimes$来构造总的希尔伯特空间。纯态表示为归一化的向量$|psi angle$，而混合态则由密度算符$ ho$来描述。我们深入分析了密度算符的性质，包括其半正定性、迹为一的特性，以及如何通过冯·诺依依曼熵（Von Neumann Entropy）来衡量一个纯态的“纯度”。 第二部分：可分性与纠缠的初步界定 本部分的核心是区分量子力学中至关重要的两个概念：可分态与纠缠态。对于一个复合系统$A otimes B$，如果其密度算符可以表示为子系统纯态张量积的凸组合，即 $$ ho_{AB} = sum_i p_i ho_A^i otimes ho_B^i, quad sum p_i = 1, p_i ge 0$$ 则称该态是可分的（Separable）。反之，则称为纠缠的（Entangled）。 我们着重分析了判断可分性的数学挑战。对于二分系统（两个子系统），贝尔不等式的失效是纠缠存在的充分非必要条件。我们详细推导了贝尔态（Bell States）的数学形式，并展示了它们如何无法被写成可分态的叠加。 更进一步，我们引入了正规化偏迹（Partial Tracing）的数学运算，这是判断纠缠性的关键工具。对于一个一般状态$ ho_{AB}$，其子系统$A$上的约化密度矩阵定义为： $$ ho_A = ext{Tr}_B( ho_{AB}) = sum_k (langle k|_B ho_{AB} |k angle_B)$$ 我们证明了，如果一个态是可分的，那么其所有约化密度矩阵都必须是纯态（若所有分量均为纯态）。 第三部分：纠缠的量化度量——纠缠熵 如何量化“有多少”纠缠是本理论的核心难题之一。本部分聚焦于信息论中对纠缠最自然和最常用的度量：纠缠熵。 对于一个纯态$|psi angle_{AB}$，子系统$A$上的冯·诺依曼熵被定义为： $$E(psi) = S( ho_A) = - ext{Tr}( ho_A log_2 ho_A)$$ 其中$ ho_A = ext{Tr}_B(|psi anglelanglepsi|)$。我们论证了这种熵度量满足纠缠度量的基本要求：对于可分态，纠缠熵为零；对于最大纠缠态（如贝尔态），熵达到最大值$log_2 d_A$。 然而，对于混合态，纠缠熵不再是诚实的度量，因为可分态也可以具有非零的冯·诺依曼熵。因此，我们引入了更严格的数学量度： 1. 纠缠资源理论（Entanglement Resource Theory）：从数学上定义了“免费操作”——局部操作和经典通信（LOCC）。 2. 纠缠见证者（Entanglement Witnesses）：引入了半正定线性算符$W$，使得对于所有可分态$ ho_{sep}$，都有$ ext{Tr}(W ho_{sep}) le 0$，而对于纠缠态，$ ext{Tr}(W ho_{ent}) > 0$。这提供了一种判别纠缠的有效数学方法。 第四部分：纠缠的代数结构与矩阵乘积态 本部分将讨论纠缠态在张量积空间中的具体代数表示。 我们研究了纠缠度量的凸性：纠缠度量必须是凹函数（Concave）。这使得寻找最小纠缠态（即最大可分态的边界）成为一个优化问题。 此外，本书详细分析了矩阵乘积态（Matrix Product States, MPS）在线表示纠缠态中的作用。对于一维系统链，任意纯态都可以表示为MPS： $$|psi angle = sum_{i_1, i_2, dots, i_L} ext{Tr}(A^{[1]}_{i_1} A^{[2]}_{i_2} cdots A^{[L]}_{i_L}) |i_1 i_2 cdots i_L angle$$ 其中$A^{[k]}_{i_k}$是秩为$chi$的张量。我们证明了，MPS的张量秩$chi$直接限制了系统内部的最大纠缠度（通过纠缠熵的二分量割裂来衡量）。这种表示法在计算物理和张量网络理论中提供了强大的数学框架。 第五部分：纠缠的几何与拓扑视角 最后，我们从高维几何的角度审视纠缠。我们探讨了纠缠流形（Entanglement Manifolds）：所有具有特定纠缠度（例如，特定纠缠熵）的纯态构成的子集。这些流形通常是非线性的，其曲率和拓扑性质反映了态空间中纠缠的分布。 我们简要介绍了纠缠见证者的代数几何，特别是对于高维系统，纠缠和可分性的边界往往由复杂的超曲面定义。这种几何视角帮助我们理解纠缠的“密度”以及系统维度对可分集合的扩张影响。 本书通过严谨的数学推导和结构分析，旨在提供一个全面、深入理解量子纠缠数学本质的参考框架，完全避开物理实验的细节，专注于理论结构本身。

评分☆☆☆☆☆

这部书的封面设计颇具匠心，那种深邃的蓝色调配上简洁的几何图形，立刻就让人联想到了那些既抽象又充满内在联系的科学概念。我记得当时在书店里被它吸引，很大程度上是因为标题本身带来的那种深邃感。“数学刻画”这个词汇，让原本就神秘的“量子关联”一下子变得似乎触手可及，仿佛作者要为我们揭开隐藏在量子现象背后的精妙结构。我立刻翻开了前言，作者开篇就提出了一个宏大的问题，关于如何用代数的语言去描述那些在宏观世界中难以想象的纠缠态。整本书的叙事节奏把握得极好，从基础的线性代数和希尔伯特空间回顾开始，稳步过渡到更复杂的张量网络表示。我特别欣赏作者在讲解新概念时，总是能穿插一些历史背景，让人明白这些数学工具是如何一步步被发展出来以解决物理难题的。读完第一部分，我感觉自己对量子信息理论的基石有了非常扎实的理解，这不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的重塑，让我开始用更严谨、更结构化的眼光去看待物理现象。

评分☆☆☆☆☆

最让我感到惊喜的是作者在讨论高维量子系统的表示法时所采用的视角。传统教材往往会侧重于矩阵的直观操作，但这本书却巧妙地引入了代数几何中的某些构造，用以描述和分类那些难以可视化的多体纠缠态。例如，在分析张量积空间（Tensor Product Space）的结构时，作者引入了“Schur-Weyl对偶性”的观点，这使得原本晦涩的对称群表示理论与量子态的构建紧密地联系了起来。我仿佛看到了一个宏大的数学体系正在缓缓展开，它不仅解释了“为什么”某些态是纠缠的，更描绘了“如何”在数学上构造出这些态的完整家族。这种从底层数学结构出发，反向构建物理模型的方法论，极大地拓宽了我对量子力学本质的认识，它不再仅仅是一套描述粒子行为的规则，而是一门深刻的结构科学。

评分☆☆☆☆☆

这本书的论述风格极其严谨，与其说是科普读物，不如说是一本面向研究生的专业教材。我尤其关注它在非定域性测试（如贝尔不等式）的数学形式化处理上所花费的篇幅。作者没有停留在简单的不等式展示，而是深入探讨了将这些不等式嵌入到更广阔的凸集理论框架中，这对于理解量子边缘的“非经典性”至关重要。在涉及到信息论和复杂性理论交叉的部分时，行文的密度陡然增大，需要读者具备较强的代数几何基础才能跟上作者的推导步伐。我不得不承认，有些章节我需要反复阅读，对照着辅助教材进行学习。但正是这种近乎苛刻的精确性，使得这本书在学术界具有很高的参考价值。每当遇到一个证明的关键步骤，作者都会清晰地标明所依据的定理，这极大地减少了阅读过程中的困惑，体现了作者对读者学习路径的深切关怀，即使内容本身非常硬核。

评分☆☆☆☆☆

这本书的另一大亮点在于其对“量子计算”实际应用的数学准备工作做得非常充分。在深入讨论算法之前，作者花费了相当大的篇幅来构建一个完备的计算模型基础，特别是针对量子线路的建模，它被严格地定义为酉算子（Unitary Operators）在特定张量积空间上的作用。这种基础的夯实，使得后续对Shor算法或Grover搜索算法的分析，不再是简单的步骤罗列，而是深入到了其内在的数学复杂度分析。例如，在讨论量子并行性时，作者并没有简单地停留在“同时计算”的描述上，而是将其与经典计算中难以实现的傅里叶变换在指数维空间中的高效性联系起来，这完全是站在代数拓扑和离散群论的视角来审视计算的潜能。整本书从理论的深海中缓缓浮现，最终将我们带到了一个坚实的、可计算的数学基座之上，为任何想要深入研究量子算法设计的人提供了无可替代的数学工具箱。

评分☆☆☆☆☆

我必须指出，这本书的“数学味”非常浓郁，如果你期待的是充满生动比喻和生活化类比的轻松阅读体验，那么你可能会感到吃力。它的每一页都充满了公式和符号，如同在阅读一份精心绘制的数学蓝图。我记得在解读“量子度量”（Quantum Metrics）那一章时，作者详细阐述了如何利用Fubini-Study度量来量化不同量子态之间的“距离”，这种处理方式是极其纯粹的几何学思想在量子领域中的体现。作者非常擅长使用“结构同态”（Structure Homomorphism）这样的抽象概念来统一不同层次的物理描述。尽管阅读过程需要极高的专注力，但每当攻克一个复杂的定理或证明时，那种智力上的满足感是无与伦比的。这本书仿佛在邀请读者进行一场高强度的智力马拉松，考验的不仅是知识储备，更是逻辑推理的耐力。