高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选 第2版 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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蔡燧林 编

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• 微积分
• 函数
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• 导数
• 积分

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302432289

版次：2

商品编码：11915747

品牌：清华大学

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-04-01

用纸：胶版纸

页数：379

字数：606000

内容简介

　　蔡燧林编著的《高等数学竞赛培训教程--高等数学例题精选(第2版)》是为高等学校理工类本科生提高高等数学解题水平，准备参加高等数学竞赛，或为争取考研取得高分而准备的参考书，也可供有关教师日常教学或培训竞赛时参考。读者也可从本书中查到一般教科书上找不到的某些定理的证明和方法。
　　全书分函数、极限、连续，一元函数微分学，一元函数积分学，常微分方程，向量代数与空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数共8章。每章分若干节，每节按类型分成若干大段。每段开头，常归纳一下本段中所用的基本方法。每题分“题”“分析”“解”，必要时加[注]。“分析”与[注]是点睛之笔，“分析”点明解题思路，[注]是题的延伸、拓广或明辨是非。本书中不列出常见的定义、定理、公式，只是在多元函数部分列出某些延伸或易被读者疏忽的要点。书中的填空题是简单的计算题；书中的解答题，包括了计算题、论证题和讨论题。
　　每章后均有习题，习题均有答案，证明题均有较详细的提示，有一定难度或技巧的计算题，也给出提示。
　　全书共有例题362道，习题430道。

作者简介

　　蔡燧林，浙江大学理学院数学系教授。1992年起获得国务院政府特殊津贴，硕士生导师。曾任浙江大学数学系副系主任；国家教委（教育部）工科数学课程指导委员会委员；教育部考试中心硕士研究生数学命题组工科组组长，多个学术期刊编委。主编图书十几部；发表学术论文共40余篇。获奖著作有：《常微分方程定性理论引论》（蔡燧林、钱祥征编著，高等教育出版社出版）、《高等数学》与其辅导书及电子教材（李心灿主编，徐兵、蔡燧林副主编，高等教育出版社出版，获2004年北京市教学成果（高等教育）一等奖）。

目录

第一章 函数、极限、连续
1.1 函数
1.2 极限
1.3 函数的连续性
第一章习题
第一章习题答案
第二章 一元函数微分学
2.1 导数与微分
2.2 导数在研究函数性态方面的应用，不等式与零点问题
第二章习题
第二章习题答案
第三章 一元函数积分学
3.1 不定积分、定积分与反常积分
3.2 积分的证明题
3.3 反常积分的计算与判敛
第三章习题
第三章习题答案
第四章 常微分方程
4.1 基本类型求解
4.2 可化成基本类型求解的问题
4.3 常微分方程的解的性质的讨论
第四章习题
第四章习题答案
第五章 向量代数与空间解析几何
5.1 向量代数与平面、直线
5.2 曲面与曲线
第五章习题
第五章习题答案
第六章 多元函数微分学
6.1 函数、极限、连续，偏导数与全微分
6.2 多元函数微分学的应用
第六章习题
第六章习题答案
第七章 多元函数积分学
7.1 二重积分
7.2 三重积分
7.3 第一型曲线积分与平面第二型曲线积分
7.4 曲面积分与空间第二型曲线积分
第七章习题
第七章习题答案
第八章 无穷级数
8.1 数项级数
8.2 幂级数与泰勒级数
8.3 傅里叶级数
第八章习题
第八章习题答案

前言/序言

高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选 第2版

挑战与精进：深入探索数学奥秘的阶梯 一部面向有志于在高等数学领域深耕的读者，以及渴望在数学竞赛中脱颖而出的学习者的进阶指南。 本书并非旨在提供标准高等数学课程的全面复述，而是聚焦于那些真正能够考验思维深度、检验理解广度的核心与难点。它是一份精选的、经过严格筛选的例题集，旨在弥合理论学习与实际应用、特别是高难度解题能力之间的鸿沟。我们的目标是，通过对精选例题的层层剖析，引导读者建立起一种更具洞察力的数学视野和更扎实的解题技巧。 适用读者群体定位 本书主要面向以下几类读者： 1. 数学竞赛备赛者： 特别是那些正在为各类高等数学相关的挑战性竞赛（如研究生数学竞赛、部分高级别本科生数学竞赛等）做准备的学员。他们需要超越课本的常规难度，接触到更具创造性和技巧性的问题。 2. 基础扎实的高等数学学习者： 已经完成了标准高等数学课程学习，希望通过解决更具挑战性的问题来巩固知识、深化理解，并提升对数学概念的驾驭能力的本科生或研究生。 3. 数学教师与辅导人员： 寻求丰富教学案例，特别是那些能够激发学生思考、拓宽解题思路的优秀例题资源的教育工作者。 内容结构与核心理念 本书的组织逻辑摒弃了传统的按章节顺序推进的教学模式，而是侧重于专题突破和方法论的提炼。我们相信，真正的理解并非源于对公式的机械记忆，而是源于对问题背后数学思想的把握。 全书内容被划分为若干核心模块，每个模块都围绕一个或一组关键的、具有代表性的难题展开深入探讨： 第一部分：极限、连续性与微积分的精妙应用 本部分关注那些看似简单却暗藏玄机的极限问题，以及微积分工具在非标准场景下的灵活运用。 深入探讨不定式极限的“隐藏结构”： 介绍除洛必达法则和泰勒展开之外，如何通过变量代换、构造特定函数序列或利用不等式技巧来解决高度复杂的极限问题。重点分析那些涉及多个变量、多个函数嵌套或涉及特殊函数的极限计算。 变上限积分与微分方程的交叉渗透： 精选一系列涉及参数的定积分和变上限积分的问题，展示如何巧妙地利用微分性质（如对参数求导）来简化原本难以处理的积分表达式。同时，将微分方程的初步概念融入到微积分的应用题中，考察读者对“变化率”的整体把握。 微分中值定理的非平凡推论： 侧重于拉格朗日中值定理和柯西中值定理在证明不等式、分析函数性质（如单调性、凹凸性）时的“反向应用”。如何根据结论反推中值定理的结构，是本节的重点训练目标。 第二部分：多元微积分的几何与代数交织 多元函数的分析是高等数学的难点之一，本部分致力于攻克其在空间几何和抽象代数结构中的应用。 梯度、散度和旋度的空间几何诠释： 不仅停留在公式计算层面，而是通过构建具体的物理或几何模型，让读者直观理解这些向量场算子在描述流场、曲面法线、环流等现象时的物理意义。精选例题将要求读者从几何直觉出发构建代数表达式。 多重积分的坐标变换的艺术： 重点剖析如何根据积分区域的形状（如椭圆、指数区域、星形区域）来选择最合适的坐标系（广义极坐标、椭球坐标、甚至自定义坐标系），实现积分的简化。强调“反向思维”——根据积分目标反推坐标变换。 线积分与面积分的应用边界： 深入分析格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理在解决封闭曲线上的环路问题、曲面通量计算中的应用。特别关注如何处理不规则边界或非标准的封闭曲面问题。 第三部分：级数理论的收敛性与精确求和 级数是分析学中涉及无限求和的精髓，本部分要求读者掌握收敛性的判断，并追求对特定级数进行精确求和的能力。 收敛判别法的综合运用与冲突处理： 包含大量需要组合使用比值判别法、根值判别法、积分判别法甚至狄利克雷判别法的复杂级数。训练读者在面对复杂项时，迅速识别出最经济、最有效的判别策略。 幂级数的精确求和技巧： 侧重于利用已知的基本级数（如几何级数、$arctan x$、$ln(1+x)$ 的展开式）通过微分-积分-代换的组合技巧，对非标准形式的幂级数进行求和。这部分内容要求读者对解析函数的性质有深刻理解。 傅里叶级数的特殊值与收敛性质： 探讨如何利用傅里叶级数在间断点处的收敛性质（吉布斯现象）以及 Parseval 等式，来求解特定数值的无穷和，这是将傅里叶分析与求和理论结合的高级技巧。 本书的独特价值 本书的价值不在于涵盖了多少知识点，而在于如何应对那些“卡住”学习者思维的障碍点。 1. 解题思路的透明化： 每道例题的解答过程都力求详尽，特别是对“为什么选择这种方法”的阐述，远胜于单纯展示计算步骤。我们旨在揭示解题者在面对难题时，如何进行启发式搜索。 2. 技巧的系统性提炼： 在解答的关键步骤，会用旁注或小节的形式，归纳出一种可推广的“技巧范式”（例如：“三角函数代换中的‘平方与根号’原则”或“积分中的‘对称性剥离法’”）。 3. 思维的提升导向： 本书中的许多例题旨在训练读者的“数学建模思维”——即将一个抽象的数学问题，映射到一个可以被现有工具解决的结构上。这要求读者具备跳出固定框架思考的能力。 通过对这些精选例题的反复研磨，读者将能有效提升面对复杂数学问题的信心和解决问题的能力，为后续的专业学习或高水平竞赛打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书，用一个词来形容，那就是“扎实”。《高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选 第2版》给我最直观的感受是，它不像某些“速成”秘籍那样浮光掠影，而是真正地在夯实基础的同时，引导读者深入理解高等数学的精髓。它所选取的例题，都是经过精心挑选的，紧密结合了数学竞赛的最新动态和常见考点。我翻阅了几十页，发现里面的题目难度分布非常合理，既有帮助建立信心、巩固基础的入门级例题，也有挑战思维极限、需要深入钻研的高难度题目。而且，书中对每一道例题的解析，都力求做到“不留死角”。不仅仅是展示一种解法，更会深入剖析该解法的原理，与其他方法的比较，以及解题过程中可能遇到的陷阱。这种“刨根问底”式的讲解方式，让我对高等数学的概念和定理有了更深层次的理解，不再是死记硬背，而是真正地“融会贯通”。这本书让我觉得，备战数学竞赛不再是一件令人望而生畏的事情，而是一个充满乐趣和挑战的探索过程。

评分☆☆☆☆☆

哇，拿到这本《高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选 第2版》，简直是我的救星！一直以来，数学竞赛对我来说就像是一道难以逾越的高墙，尤其是高等数学部分，那些看似简洁的题目背后却隐藏着精巧的思路和复杂的计算，常常让我望而却步。这本书的出现，仿佛为我打开了一扇新的大门。首先，它不是那种枯燥乏味的理论堆砌，而是真正从“实战”出发，选取了大量具有代表性的高等数学竞赛例题，涵盖了微积分、线性代数、概率论等核心领域。每一道例题都配有详尽的解析，步骤清晰，逻辑严谨，让人能够深刻理解解题思路的形成过程，以及各种数学工具的灵活运用。更重要的是，书中不仅给出了标准答案，还常常会探讨多种解法，分析不同方法的优劣，这对于培养学生的数学思维和创新能力至关重要。我尤其喜欢书中对一些易错点和难点的深入剖析，这让我能够提前规避掉很多潜在的错误，少走弯路。这本书的排版也很舒服，文字清晰，公式规范，阅读起来体验非常好。总而言之，这绝对是一本值得数学竞赛爱好者深入研读的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

说实话，在选择备考高等数学竞赛的教材时，我纠结了很久。市面上同类书籍琳琅满目，很难辨别优劣。最终，我选择了《高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选 第2版》，事实证明我的选择非常明智。这本书最让我印象深刻的是其例题的“含金量”。它们不仅仅是课本上的习题的简单拔高，而是真正代表了近年来国内外高等数学竞赛的命题趋势和难度水平。无论是初等数论在高等数学中的应用，还是组合数学与概率论的巧妙结合，亦或是微分方程在几何问题中的体现，书中都有非常精彩的例题呈现。而且，每一道例题的解法都经过了精心的设计和优化，既保证了严谨性，又体现了数学的简洁之美。我特别喜欢书中对一些“技巧性”解法的讲解，例如利用对称性、构造辅助函数、或者采用生成函数等方法，这些都是在普通教材中很难接触到的，但却是竞赛取胜的关键。通过对这些例题的反复揣摩和练习，我感觉自己在解题的速度和准确性上都有了质的飞跃，对高等数学的理解也更加深刻和立体。

评分☆☆☆☆☆

拿到《高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选 第2版》后，我最大的感受就是“实在”。市面上很多数学竞赛书籍，要么过于理论化，要么例题太少，要么解析不够透彻，让人看了之后还是云里雾里。《高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选 第2版》则不同，它就像一位经验丰富、循循善诱的导师，耐心地带着你一步步攻克难题。书中例题的选择覆盖面非常广，从基础的函数极限、导数应用，到复杂的级数、多重积分、微分方程，再到向量代数、矩阵运算等，几乎涵盖了高等数学竞赛的各个重要考点。更关键的是，每道例题的解析都极其细致，不仅仅是给出最终答案，还会详细说明解题的思路来源，每一步的推导都清晰明了，甚至连一些容易混淆的概念和容易出错的计算点都会被点名批评，这让我这样的“马虎星人”受益匪浅。我尤其欣赏书中对于一些“非套路化”题目的处理，它鼓励读者跳出思维定势，用更巧妙、更灵活的方式解决问题，这正是竞赛数学所需要的。

评分☆☆☆☆☆

这是一本“懂你”的高等数学竞赛备考书。《高等数学竞赛培训教程——高等数学例题精选 第2版》给我的感觉，就像是作者站在读者的角度，设身处地地为我们考虑到了各种需求。首先，例题的数量和质量都达到了一个非常高的水准，涵盖了竞赛中可能出现的绝大多数题型，而且难度梯度设计得非常科学，能够满足不同水平的考生。其次，书中的解析部分堪称典范。它不是简单地给出答案，而是从问题的本质出发，一步步引导读者理解解题思路。尤其让我赞赏的是，书中常常会探讨多种解法的优劣，比如如何从不同角度切入问题，如何利用图形辅助思考，甚至是如何在时间有限的情况下选择最优解法。这种“触类旁通”的讲解方式，极大地提升了我的解题能力和思维的灵活性。此外，书中的语言风格也相当友好，没有过多晦涩难懂的术语，即使是初次接触某些概念的读者，也能比较轻松地理解。总的来说，这本书给我最大的帮助在于，它让我找到了正确的学习方法和方向，让我对冲击数学竞赛有了前所未有的信心。

评分☆☆☆☆☆

赞赞赞赞赞，准备看起来了！！！学习必备，考研加油！！！看起来得花些工夫了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的第一版是我在图书馆发现的，内容很丰富，里面的例题很多，对于自己学习做题方法、纠正思路、学习做题步骤很有帮助，所以我推荐有志之士看一下这本书，可以作为平时学习拔高用，也可以作为竞赛参考，特别是这里面的做题方法！

评分☆☆☆☆☆

书很好价格便宜，内容难。

评分☆☆☆☆☆

好好好好好

评分☆☆☆☆☆

质量很好，物流很快，服务到位！

评分☆☆☆☆☆

书质量蛮赞的，而且到货很快

评分☆☆☆☆☆

大学数学竞赛辅导用书。

评分☆☆☆☆☆

质量很好，物流很快，服务到位！

评分☆☆☆☆☆

正品好好好好好