Pell方程：从整数谈起（基金） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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冯克勤 著

图书标签:

• 数论
• 丢番图方程
• Pell方程
• 整数论
• 代数数论
• 数学分析
• 高等数学
• 数论基础
• 数学普及
• 数学史

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560367552

版次：1

商品编码：12291384

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-08-01

用纸：胶版纸

内容简介

　　本书共5章，包括整数和它的表示，同余，方程的整数解，整点与逼近，整数的应用。本书主要介绍整数的各种性质和由整数引申出来的各种数学问题及故事
　　本书适合数学爱好者参考阅读。

目录

第1章 整数和它的表示//1

第2章 同余//67

第3章 方程的整数解//120

第4章 整点与逼近//166

第5章 整数的应用//204

数论的基石：一次深入的代数与几何之旅 一本聚焦于古老而又充满现代魅力的数论分支——丢番图方程的专著。本书旨在为数学爱好者、高等院校学生以及研究人员提供一个全面、深入且易于理解的视角，探索那些看似简单却蕴含无穷奥秘的代数方程。 本书并非对某一特定主题（如Pell方程）的详尽论述，而是致力于构建一个更宏大、更基础的数论框架，为理解涉及整数解的方程打下坚实的基础。我们将从最原始的整数概念出发，逐步引导读者进入现代数论的核心领域，探索那些定义了数论美学的基本结构。 第一部分：整数世界的基石与拓扑结构 本部分将回归最纯粹的数学对象——整数集 $mathbb{Z}$，并以严谨而直观的方式阐述其代数结构和拓扑特性。 第一章：数系溯源与公理基础 皮亚诺公理的重申与意义： 重新审视自然数的构建过程，强调归纳法的核心地位。 从自然数到整数的构造： 基于有序对的等价关系定义 $mathbb{Z}$，确保构造的严谨性。 环与域的初步概念： 介绍 $mathbb{Z}$ 作为唯一因子环的性质，为后续引入更复杂代数结构做铺垫。 第二章：数论的“工具箱”——模运算与同余理论 同余关系的建立与性质： 深入探讨模 $n$ 运算的性质，证明其在环结构中的一致性。 中国剩余定理（CRT）的深度剖析： 不仅给出定理的表述和证明，更重要的是展示其在分治算法和线性同余方程组求解中的实际应用。 欧拉 $phi$ 函数与费马小定理的推广： 阐释 $phi$ 函数在周期性与加密学中的基础作用，并引出欧拉定理。 第三章：最大公约数、最小公倍数与欧几里得算法的几何解读 扩展欧几里得算法的迭代过程： 详细分析算法的每一步，将其与数轴上的最短距离和贝祖定理联系起来。 连分数简介： 引入连分数作为有理数和无理数逼近的有力工具，为逼近理论（如无理数的有理逼近）打下基础，这是理解某些不定方程解结构的关键。 第二部分：线性与高次丢番图方程的初探 在建立了坚实的整数基础后，我们将视野转向最早期的丢番图问题——那些只允许整数解的多项式方程。 第四章：线性不定方程的完备解法 形式化： 将形如 $ax + by = c$ 的方程纳入标准框架。 通解的构造： 基于扩展欧几里得算法，系统地推导出所有整数解的参数化形式。 几何解释： 将方程视为在二维整数格点上的直线截取问题。 第五章：二次型与费马平方和问题 数论中的二次型： 探讨形如 $ax^2 + bxy + cy^2 = n$ 的形式，特别关注 $x^2 + y^2 = n$ 这一经典问题。 高斯和的引入： 介绍高斯对平方和问题的贡献，以及与素数分布的联系。 素数与和的深度关系： 证明“一个素数可以表示为两个平方数之和的充要条件”（费马平方和定理的证明框架）。 第六章：二元三次方程的初步探索 本杰明·奥尔本的遗产： 简要介绍三次方程的难度和历史背景。 椭圆曲线的萌芽： 在不引入复杂代数几何工具的前提下，讨论形如 $y^2 = x^3 + kx + l$ 的方程在有理数域上的结构（例如，如何判定一个点是否可以被“加法”运算）。 第三部分：超越整数：代数数论的序章 本部分将把读者的视角从 $mathbb{Z}$ 扩展到更广阔的代数数域，这是解决更复杂方程的必然要求。 第七章：代数整数与范数 二次域的构建： 详细介绍 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 域，包括它的整数环 $mathcal{O}_d$（如高斯整数 $mathbb{Z}[i]$）。 范数函数的定义与性质： 范数在确定域中“大小”和整除性概念中的核心作用。 单位与因子分解： 讨论在这些代数整数环中，单位元的角色及其对元素唯一分解的影响。 第八章：因子分解的危机与动机 唯一分解的失效： 通过一个具体的例子（如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$），清晰展示因子分解的非唯一性。 类群概念的引入： 解释为什么需要“理想”的概念来恢复唯一性，并简要指出其在解决丢番图方程中的潜力。 结语：通往现代数论的大门 本书的结构旨在引导读者从最基础的算术直觉出发，逐步掌握处理不定方程所需的代数工具。通过对线性、二次以及引入代数数域的系统性讨论，读者将能够建立起一个坚实的知识体系，为进一步深入研究更高级的数论分支（如椭圆曲线上的有理点、代数几何方法等）做好充分准备。本书强调的是方法论和结构理解，而非对单一问题的穷举式分析。

评分☆☆☆☆☆

《Pell方程：从整数谈起（基金）》这本书的题目，让我感觉它是一本既有学术严谨性又不失读者友好度的佳作。特别是“从整数谈起”这几个字，让我对作者的讲解风格充满了期待。我相信，本书不会一上来就抛出复杂的定义和定理，而是会从最基本的整数概念入手，一步步引导读者认识Pell方程。我希望作者能够用清晰易懂的语言，解释Pell方程的定义，以及它与整数的内在联系。更重要的是，我期待书中能够详细阐述求解Pell方程的各种方法，特别是与整数性质紧密相关的技巧，比如如何利用费马小定理、二次剩余等概念来分析方程的解。我非常想知道，本书是否会深入探讨Pell方程解的结构，例如如何生成无穷多组解，以及这些解之间存在的规律。同时，“基金”这个词，为本书增添了一层神秘感和现实意义。它或许暗示着本书会涉及一些由研究基金支持的Pell方程相关研究成果，或者本书本身就是某个基金项目的产物。我希望作者能够借此机会，介绍Pell方程在现代数学研究中的重要性，例如它在代数数论、计算数论，甚至在密码学等领域的应用。能够了解Pell方程的实际应用价值，将极大地提升我对这本书的阅读兴趣和学习动力。

评分☆☆☆☆☆

对于《Pell方程：从整数谈起（基金）》这本书，我首先被它极富启发性的书名所吸引。“从整数谈起”这几个字，预示着本书的讲解方式会非常扎实，从最根本的数学概念入手，逐步搭建起Pell方程的理论大厦。这对于很多读者来说，无疑是一条非常友好的学习路径。我非常期待书中能够详细介绍Pell方程的基本形式 $x^2 - Dy^2 = 1$（其中$D$为非平方正整数），以及它与整数之间的天然联系。我想象着，作者可能会通过一些具体的整数例子，比如寻找小整数解，来激发读者的兴趣，然后逐步引出求解Pell方程的通用方法，例如利用连分数展开。我希望作者能够清晰地解释连分数与Pell方程解之间的关系，这是Pell方程理论的核心之一。此外，我对于“基金”这个词也充满了好奇。它是否意味着这本书的撰写得到了某项研究基金的支持？或者，书中会涉及到一些与Pell方程相关的、由基金资助的学术研究成果？我非常希望作者能够借此机会，分享一些Pell方程在数论研究中的重要地位，以及它在更广泛的数学领域中的应用，比如在丢番图方程的研究、代数数论，甚至在一些与数论相关的应用领域。了解到Pell方程的实际价值和研究现状，无疑会大大提升本书的阅读价值。

评分☆☆☆☆☆

《Pell方程：从整数谈起（基金）》这本书的书名，在我看来，巧妙地结合了数学概念与现实联系。“从整数谈起”这句话，让我联想到作者很可能采取的是一种由浅入深、由易到难的教学方式，这对于我这样并非专业数学家但对数论有着浓厚兴趣的读者来说，是最具吸引力的。我非常期待书中能够详细阐述Pell方程的定义，以及它与整数之间最基础的联系，比如如何通过寻找整数对 $(x, y)$ 来满足 $x^2 - Dy^2 = 1$ 这样的方程。我猜想，作者不会急于给出复杂的证明，而是会从一些简单的例子入手，引导读者逐步理解方程的结构和求解思路。更重要的是，我希望作者能够深入挖掘Pell方程与整数性质之间的微妙关系。比如，与二次剩余、平方数、算术基本定理等概念的关联。我期待书中能够提供一些关于Pell方程解的生成机制的清晰解释，例如利用高斯整数环或者其他代数方法。而“基金”这个词，则让我对这本书的深度和广度产生了更多的想象。它是否意味着这本书会涉及一些与Pell方程相关的、由基金资助的研究项目？或者，这本书本身就是某个研究基金的成果展示？我希望书中能够提及一些Pell方程在现代数学研究中的最新进展，或者它在某些领域的应用，比如在计算数论、代数数论，甚至密码学等方面的应用。能够了解到Pell方程的实际意义，将使我对这本看似纯粹的数学书籍产生更深刻的共鸣。

评分☆☆☆☆☆

对于《Pell方程：从整数谈起（基金）》这本书，我最期待的是它在讲解Pell方程的“从整数谈起”这个阶段能够有多么细致入微。很多时候，过于直接的理论讲解容易让人感到疏离，而从整数的基本性质出发，比如整除性、模运算、同余等概念，来逐步构建Pell方程的理论框架，这才是真正能够打下坚实基础的做法。我希望作者能够用丰富的例子，甚至是一些历史上的数学难题，来引出Pell方程的出现，让读者在解决问题的过程中自然而然地理解方程的意义和重要性。同时，对于“整数”的定义和性质，作者是否能有更深入的探讨？比如，整数的代数结构、数域的概念，这些是否会作为引入Pell方程的铺垫？我猜想，作者很可能会在书中详细介绍如何利用整数的各种性质，例如二次剩余、平方数等，来分析Pell方程的解的存在性和形式。而且，“基金”这个词，似乎暗示着这本书可能不仅仅停留在基础理论层面，或许还涉及到一些研究前沿，或者一些由基金支持的研究项目中所遇到的Pell方程应用。我很想知道，Pell方程在现代数学研究或者其他科学领域，是否有实际应用的实例？例如，在密码学、编码理论，甚至物理学中有没有涉及？这本书能否提供一些这方面的线索，或者至少启发我思考Pell方程的潜在应用价值，这将大大提升这本书的阅读体验。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名《Pell方程：从整数谈起（基金）》就非常有吸引力。作为一名对数学，尤其是数论领域有浓厚兴趣的读者，我一直以来都对Pell方程这种看似简单却蕴含深刻理论的方程组充满了好奇。书名中“从整数谈起”这一部分，预示着作者会从最基础的整数概念出发，循序渐进地引导读者进入Pell方程的奇妙世界，这对于我这样可能并非专业数学背景的读者来说，无疑是极大的福音。我期待这本书能够避免那些枯燥乏味的专业术语堆砌，而是用一种更具启发性、更贴近直觉的方式来讲解Pell方程的定义、性质以及它与整数之间的紧密联系。我希望作者能够清晰地阐述Pell方程的求解方法，比如如何通过连分数理论来找到其无穷多组解，以及这些解的生成规律。同时，我也很想了解Pell方程在数学史上的发展脉络，它是由哪些伟大的数学家提出的，又在哪些数学分支中扮演了重要的角色。此外，“基金”二字，让我联想到这本书可能不仅仅是理论的探讨，或许还包含了一些与实际应用、研究基金项目相关的思考，这又为这本书增添了一层神秘感和现实意义。总而言之，这本书在我心中已经勾勒出了一个既有深度又不失趣味的学习蓝图，我迫不及待地想翻开它，去探索Pell方程的奥秘。