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冯克勤，章璞 著

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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040283242

商品编码：13614446858

包装：平装

出版时间：2010-01-01

书名：近世代数三百题

：18.90元

作者：冯克勤,章璞

出版社：高等教育出版社

出版日期：2010-01-01

ISBN：9787040283242

字数：

页码：

版次：1

装帧：平装

开本：16开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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由冯克勤、李尚志、查建国、章璞编写的《近世代数引论》，历经三版反复修改，作为数学系本科生教材使用已二十余年。这本教材有不少较难的习题。本书则把编者们在教学过程中对这些习题的解答汇集成册，并不断增加一些新的问题。旨在帮助同学和年轻教师进一步了解解近世代数的真谛，掌握它的思想和方法，提高抽象思维能力。

内容提要

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本书为近世代数的教学提供了丰富的例子，内容包括群论、环论、域论和Galois理论。全书包含了500多个习题(包括一大题中若干小题)的解答；有近三分之一或更多的题目对初学者是较难的；有的题目是很难的(例如，华罗庚恒等式等题，在一般的书中也很难找到解答)。为帮助学生回顾所学内容，在每一节前加了“知识要点”。
本书可作为数学系本科生和研究生及其他相关专业学生的教学参考书和课外读物。

目录

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部分 问题总汇
　第1章 群论
　 1 集合与映射
　 2 群的概念
　 3 子群和陪集分解
　 4 循环群
　 5 正规子群和商群
　 6 置换群
　 7 群在集合上的作用
　 8 sylow定理
　 9 自由群和群的表现
　 10 有限生成Abel群
　 11 小阶群的结构
　 12 可解群和幂零群
　第2章 环论
　 1 基本概念
　 2 环的同构定理
　 3 同态的应用
　 4 各类整环
　 5 多项式环
　第3章 域论
　 1 域的扩张
　 2 分裂域
　 3 有限域的结构
　 4 有限域上的不可约多项式
　 5 有限域上的线性代数
　 6 可分扩张
　 7 正规扩张
　第4章 Galois理论
　 1 基本定理
　 2 方程的Galois群
　 3 方程的根式可解性
第二部分 问题解答
　第1章 群论
　 1 集合与映射
　 2 群的概念
　 3 子群和陪集分解
　 4 循环群
　 5 正规子群和商群
　 6 置换群
　 7 群在集合上的作用
　 8 Sylow定理
　 9 自由群和群的表现
　 10 有限生成Abel群
　 11 小阶群的结构
　 12 可解群和幂零群
　第2章 环论
　 1 基本概念
　 2 环的同构定理
　 3 同态的应用
　 4 各类整环
　 5 多项式环
　第3章 域论
　 1 域的扩张
　 2 分裂域
　 3 有限域的结构
　 4 有限域上的不可约多项式
　 5 有限域上的线性代数
　 6 可分扩张
　 7 正规扩张
　第4章 Galois理论
　 1 基本定理
　 2 方程的Galois群
　 3 方程的根式可解性
参考文献

作者介绍

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文摘

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序言

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深入探索抽象代数的精妙与严谨：一本面向进阶学习者的独立代数教材简介 本书是一本专注于现代抽象代数核心概念的深度学习教材，旨在为已经掌握基础线性代数和初级抽象代数概念的学生提供一个坚实而富有挑战性的进阶平台。全书结构严谨，内容覆盖面广，特别强调理论的内在联系、证明的逻辑严密性以及重要定理的应用实例。 本书的定位与目标读者 本书并非面向初次接触抽象代数的学生，而是定位于数学系本科高年级学生、准备进入研究生学习的优秀本科生，以及需要系统回顾和深化代数基础的研究人员。我们的目标是培养读者在代数结构中进行抽象思维、独立构建复杂证明以及灵活运用代数工具解决问题的能力。读者应具备扎实的集合论基础、群论初步知识（如群的定义、子群、陪集、同态与同构）以及对抽象结构有初步的理解。 核心内容模块划分与深度解析 全书内容紧密围绕现代代数的三大支柱——群论、环论和域论展开，并辅以必要的模和伽罗瓦理论作为桥梁。 第一部分：群论的深化与结构分析 (Group Theory Refined) 本部分将超越基础教材对群的初步介绍，深入探讨群的复杂结构和分解。 1. 深入正规子群与商群结构： 我们将详细分析正规子群在构建商群中的核心作用，并引入中心（Center）、中心化子（Centralizer）和正规化子（Normalizer）的概念。重点论述它们之间的关系，例如它们如何定义李雅普诺夫–希尔伯特分解的局部结构。 2. 群作用与经典定理的精妙证明： 群作用（Group Action）的理论将被系统展开，着重分析轨道-稳定化子定理的深层含义。随后，本书将详尽论证柯西定理（Cauchy's Theorem）、西洛夫三定理（Sylow's Theorems）的完整证明及其在判断有限群结构时的关键作用。特别是，我们将用群作用的语言重新阐述西洛夫定理的构造性证明。 3. 可解群与幂零群： 这是区分基础与进阶群论的关键部分。我们将定义换位子子群（Commutator Subgroup），并基于此构建正合列，从而引入可解群（Solvable Groups）的概念。我们将证明有限 $p$-群必然是幂零的，并探究幂零群的结构分解，例如其与直积结构的关系。这将为理解有限群的分类提供理论工具。 4. 自由群与表示： 本部分将引入自由群（Free Groups）的概念及其生成元和关系。随后，我们将探讨群的表示论的初步概念，特别是群表示的定义，以及如何通过线性代数工具来研究群的结构。 第二部分：环论的广阔天地 (Ring Theory Exploration) 环论部分将从更抽象的角度审视环的结构，着重于理想、整环和域的构建。 1. 理想、同态与环的分解： 在回顾理想和商环的基础上，本书将深入探讨主理想域（Principal Ideal Domains, PID）、唯一因子分解域（Unique Factorization Domains, UFD）和迪德金环（Dedekind Domains）的层级关系。我们将清晰地证明，每一个PID都是一个UFD，并给出反例说明UFD不一定是PID。 2. Noetherian 和 Artinian 环： 这是处理无限环结构的关键工具。我们将定义Noetherian 环和Artinian 环，并证明Hilbert 不可降解定理。重点讨论Krull 维度的概念，特别是对于多项式环和代数扩张中维度的计算。 3. 分式域的构造与推广： 我们将系统地构造整环的分式域（Field of Fractions），并证明其唯一性。这为理解有理数域 $mathbb{Q}$ 构造于整数域 $mathbb{Z}$ 之上的过程提供了普遍的代数框架。 第三部分：域论与伽罗瓦理论的宏伟结构 (Field Theory and Galois Correspondence) 本部分是全书的理论高潮，旨在建立有限域、代数扩张与群论之间的深刻联系。 1. 代数扩张与超越扩张： 我们将严格区分代数扩张（Algebraic Extensions）和超越扩张（Transcendental Extensions）。重点分析最小多项式（Minimal Polynomial）的唯一性和构造，并计算域扩张的次数 $[ ext{L}: ext{K}]$。 2. 正规扩张与可分扩张： 精确定义正规域扩张（Normal Extensions）和可分域扩张（Separable Extensions）。特别关注在特征为零域（如 $mathbb{Q}$）上，所有代数扩张自动是可分的这一重要结论。 3. 伽罗瓦群的构建与基本定理： 我们将定义伽罗瓦群（Galois Group） $ ext{Gal}( ext{L}/ ext{K})$，并详细证明伽罗瓦理论的基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）。该定理建立了域扩张塔与子群之间的一一对应关系，这是代数中最美的对应之一。 4. 经典问题的解决： 利用伽罗瓦理论的工具，本书将回溯性地论证五次及更高次方程的不可解性（即阿贝尔-鲁菲尼定理），并分析圆周率的构造性问题（即高斯证明的正多边形可尺规作图问题）。 教学特色与方法论 结构化证明链条： 每一步的引理和定理都基于前文已证明的结果，强调推理的完整性。 侧重于核心概念的辨析： 对容易混淆的概念（如 PID/UFD，正规群/子群，正规扩张/可分扩张）进行深入对比分析。 引入现代代数语言： 鼓励读者使用范畴论的初步思想来理解同态和函子，提升对抽象性的驾驭能力。 本书力求提供一个既具有理论深度又兼顾逻辑清晰度的学习体验，帮助读者真正掌握现代抽象代数这一数学的“骨架语言”。

评分☆☆☆☆☆

我对数学书籍的“手感”和阅读体验很看重，这直接影响到我愿意花多少时间沉浸其中。这本《近世代数三百题》，如果它能像一本好的文学作品那样，拥有令人愉悦的阅读体验，那简直是太棒了。我不是说要花哨的插图，而是指文字的叙述风格。近世代数往往需要一种优雅而有力的语言来描述其深刻的内在联系。如果作者能用一种既保持数学的精准性，又不失人文关怀的笔触来阐述，比如在介绍某个定理的背景或历史意义时稍微展开一下，那学习过程就会变得生动起来。我特别不喜欢那种写得像机器翻译的教科书，冰冷而缺乏生命力。一个优秀的代数教材，应该能让人感受到数学家在发现这些优美结构时的那种“顿悟”时刻。希望这本书的行文能透露出作者对这门学科的热爱与洞察力。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数论和代数几何都有涉猎的爱好者，我对任何一本深入探讨群、环、域的书都会抱有很高的期望值。我个人更偏爱那种“以问题驱动”的讲解方式，而不是纯粹的“定理堆砌”。这本书的标题点明了“三百题”，这让我对它的习题质量非常好奇。好的习题不只是检验你是否记住了公式，更是引导你进行更深层次的思考和构造。我希望这些题目不仅仅是计算性的，更要有体现深刻数学思想的构造性或证明性难题。比如，关于伽罗瓦理论的某些关键步骤，如果能通过一两道设计巧妙的习题来引导读者自己去发掘其中的美妙之处，那这本书的价值就直线上升了。如果只是重复课本上的标准证明，那吸引力就大打折扣了。我期待它能提供一些“非标答案”的视角，展现数学家们解决问题时的那种灵活性和创造力，毕竟数学的魅力就在于此，不是吗？

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计挺有意思的，那种复古的色调和简洁的排版，一下子就让人联想到经典的数学教材。拿到手里掂量了一下，分量感十足，显然内容是相当扎实的。我最看重的是它在知识体系构建上的完整性。我一直觉得，学抽象的数学理论，最怕的就是东一块西一块的碎片化知识点，看完一章，下一章就开始怀疑前面学的到底是怎么串联起来的。这本书的编排逻辑似乎很流畅，从基础的概念引入，到深入的结构分析，每一步都像是经过精心设计的阶梯，让你能稳稳地往上爬。我特别期待它在给出定义和定理后，有没有提供足够多的直观的例子来帮助理解。毕竟近世代数这种东西，太抽象了，没有“脚手架”式的解释，很容易就迷失在符号的海洋里了。希望它的例题选择能兼顾基础概念的巩固和思维深度的拓展，而不是只堆砌难度，让人望而却步。如果能做到这一点，那它绝对是自学者的福音，能有效降低学习的挫败感。

评分☆☆☆☆☆

最近在准备一个进阶的数学考试，对清晰度和准确性有着近乎苛刻的要求。很多参考书在印刷和术语规范上总是存在一些小瑕疵，虽然不影响整体理解，但对于追求严谨性的学习者来说，总像是一根刺。我希望这本由高等教育出版社出版的书籍在校对方面能做到教科书级别的水准。具体到内容上，近世代数中的同态、商结构、乃至更复杂的模和域扩张理论，每一个定义和证明的细节都必须滴水不漏。如果书中对一些关键引理的证明步骤过于跳跃，没有给出足够的中间过渡，那对于需要系统梳理知识点的学习者来说，无疑是增加了额外的理解负担。我更欣赏那种详尽到近乎啰嗦，但每一步都清晰可循的讲解风格，它能确保你在建立知识网络时，每一根“线”都是牢固可靠的，而不是靠猜测来连接两个论点。

评分☆☆☆☆☆

我之前学习抽象代数时，最大的困难点在于如何将理论知识有效地应用到具体的例子中去，尤其是在处理一些不太常见的群或环的例子时，往往会束手无策。因此，我对这本书中关于“应用”和“例子”的部分抱有极大的兴趣。我期待它能提供不同于标准教材的、更具启发性的实例分析。比如，在讨论正规子群时，能否穿插一些关于有限群的结构定理的实际应用，或者在介绍域扩张时，能清晰地展现它与多项式根的紧密联系。如果这些题目和例子能够巧妙地引导我们去探究那些“边缘”情况——那些容易被标准课程忽略的特殊结构或反例——那这本书的价值就远超一本普通的习题集了。一个好的题目集，应该能帮助读者建立起从抽象到具体的桥梁，而不是让理论和实例各自孤立存在。

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