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梅加强 著

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• 拓扑学
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• 北京大学出版社
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出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301200537

商品编码：13675461990

包装：平装

出版时间：2013-10-01

图书基本信息
图书名称	黎曼曲面导引
作者	梅加强
定价	65.00元
出版社	北京大学出版社
ISBN	9787301200537
出版日期	2013-10-01
字数
页码
版次	1
装帧	平装
开本	12k
商品重量	0.400Kg

内容简介

作者简介

目录

章 Riemann映照定理 §1.1 Schwarz引理 §1.2 调和函数 §1.3 Riemann映照定理 第二章 单值化定理 §2.1 黎曼曲面的定义 §2.2 Poincare引理 §2.3 亚纯函数与亚纯微分 §2.4 Perron方法 §2.5 单值化定理 第三章 Riemann-Roch公式 §3.1 因子 §3.2 Hodge定理 §3.3 Riemann-Roch公式 §3.4 若干应用 §3.5 Abel-Jacobi定理 第四章 曲面与上同调 §4.1 全纯线丛的定义 §4.2 因子与线丛 §4.3 层和预层 §4.4 层的上同调 §4.5 上同调群的计算 §4.6 Euler数 第五章 曲面的复几何 55.1 Hermite度量 §5.2 线丛的几何 §5.3 线丛的Hodge定理 §5.4 对偶定理 §5.5 消没定理 §5.6 线丛的陈类 附录A 三角剖分和Euler数 附录B Hodge定理的证明 参考文献 名词索引

编辑推荐

《黎曼曲面导引/北京大学现代数学丛书》介绍黎曼曲面的基本理论.对于一般黎曼曲面主要讨论单值化定理，对于紧致黎曼曲面则主要围绕Riemann-Roch公式的证明和应用展开讨论。全书共分五章，**章介绍复分析中的一些预备知识并证明Riemann映照定理，第二章利用Perron方法给出单连通黎曼曲面的分类，即单值化定理，第三章给出Riemann-Roch公式的经典证明，并讨论这个公式的大量应用，第四章引入全纯线丛，层和层的上同调的概念，并利用这些概念重新将Riemann-Roch公式解释为一个指标公式.第五章讨论黎曼曲面以及全纯线丛上Hermite度量的几何性质，并介绍Hodge定理，对偶定理和消没定理.这些定理都可以推广到高维的复流形上. 　　《黎曼曲面导引/北京大学现代数学丛书》结合了几何和分析的观点，语言简洁，内容丰富，适合自学.在引进抽象的概念时，往往辅以许多具体的实例来说明问题.掌握了黎曼曲面上的这些抽象概念以后读者可以自然地过渡到一般复流形的学习，同时，《黎曼曲面导引/北京大学现代数学丛书》可以作为研究复几何和代数几何相关领域的入门读物，

文摘

序言

拓扑几何与复分析的交汇点：现代数学的基石 图书名称： 《拓扑几何与复分析的交汇点：现代数学的基石》 作者： [此处可虚构一位知名数学家姓名，例如：李文涛、张世明等] 出版社： [此处可虚构一家知名学术出版社，例如：清华大学出版社、科学出版社等] ISBN： [此处可虚构一个标准ISBN号] --- 内容简介： 本书旨在深入探讨拓扑学与复分析两大核心数学分支之间的深刻联系与相互渗透，为读者构建一座连接代数、几何与分析思想的桥梁。全书以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，系统地阐述了黎曼几何、代数拓扑中的关键概念，并将其与复变函数理论中的核心理论相结合，展现了现代数学研究的前沿视角。 本书内容涵盖范围极广，从基础的拓扑空间理论出发，逐步过渡到更精细的微分拓扑结构，最终落脚于具有丰富几何特性的复结构。全书结构设计精妙，力求在保持数学严谨性的同时，增强概念之间的直观理解。 第一部分：拓扑学基础与几何直觉的建立 第一章：基础拓扑概念的重温与深化 本章首先回顾了度量空间、拓扑空间的定义、开集、闭集、紧致性、连通性等基本概念。在此基础上，重点引入了同胚（Homeomorphism）的概念，并讨论了其在区分不同空间形状上的局限性。我们深入探讨了基本群（Fundamental Group）的概念，通过构造性的例子（如圆周 $mathbb{S}^1$ 的基本群 $mathbb{Z}$），展示了代数工具（群论）如何被用来解决几何问题——即区分不可同胚的空间。布劳尔不动点定理的拓扑证明，将为后续的分析工具打下基础。 第二章：微分流形的概念与构造 微分拓扑是连接几何与分析的桥梁。本章详细介绍了微分流形（Differentiable Manifold）的严格定义，包括坐标系、图集（Atlas）和转移函数（Transition Map）的性质。我们详细分析了低维流形，如球面 $mathbb{S}^n$ 和环面 $mathbb{T}^2$ 的结构，并引入了向量场（Vector Field）和切空间（Tangent Space）的概念。通过对光滑函数在流形上的操作，读者将建立起在“弯曲空间”上进行微积分运算的直观认识。 第三章：同调论的初步引入 为了超越基本群在处理更高维连通性问题上的不足，本章引入了奇异同调群（Singular Homology Groups）的概念。我们定义了单纯形（Simplexes）和链复形（Chain Complexes），并解释了边界算子和微分的应用。重点解析了欧拉示性数（Euler Characteristic），阐述了它在紧致曲面分类中的核心地位，并展示了它如何通过链复形代数地计算出来。 第二部分：复分析的几何化视角 第四章：全纯函数与共形映射 本章回归复分析的经典领域，但采取一种强烈的几何观点。我们从柯西-黎曼方程出发，强调了全纯函数（Holomorphic Function）的几何意义——即局部保持角度的性质，即共形映射（Conformal Mapping）。黎曼球（Riemann Sphere）作为 $mathbb{C} cup {infty}$ 的紧致化模型，被引入作为研究全局性质的框架。我们详细分析了莫比乌斯变换（Möbius Transformation）在黎曼球上的群作用。 第五章：复流形与黎曼面（I）：结构引入 本书的核心过渡点在于本章。我们将微分流形的结构推广到复流形（Complex Manifold），即要求转移函数必须是全纯的。在此基础上，一维复流形即黎曼面（Riemann Surface）的概念被严格定义。我们证明了任何黎曼面都可以被赋予一个自然的复结构，并探讨了其局部是 $mathbb{C}$ 的概念。通过引入有理函数和亚纯函数（Meromorphic Function），我们将代数几何的概念引入分析框架。 第六章：微分形式与复结构 为了进行更高级的分析，本章引入了微分形式（Differential Forms）的理论，特别是楔积（Wedge Product）和外导数（Exterior Derivative）。重点在于定义 $(p, q)$ 型微分形式，并展示 $ ext{d} = partial + ar{partial}$ 的分解结构。在黎曼面上，我们证明了全纯函数等价于满足特定条件的 $(1, 0)$ 型微分形式的零解。拉普拉斯算子的复分析形式——Laplace-Beltrami 算子在复结构下的形式被导出，为下一章的度量理论做准备。 第三部分：几何分析与全局拓扑 第七章：黎曼度量与典范结构 本章将重点放在赋予黎曼面几何特性的度量（Metric）上。我们定义了正定（Positive Definite）的黎曼度量，并探讨了共形平坦性（Conformal Flatness）。关键在于高斯曲率（Gaussian Curvature）的引入，并通过Gauss-Bonnet 定理的初级形式，将局部的几何曲率信息（通过黎曼度量的第一基本形式计算）与全局的拓扑不变量（欧拉示性数）精确地联系起来。这将是全书最具洞察力的几何分析部分。 第八章：调和微分形式与函数 利用第七章建立的度量结构，本章转向分析工具。我们定义了拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator），并讨论了调和微分形式（Harmonic Forms）的概念。霍奇理论（Hodge Theory）的初级思想被应用，展示了在紧致黎曼面上，每个上同调类都包含一个唯一的调和微分形式代表。这不仅深刻揭示了德拉姆上同调与复上同调之间的关系，还再次印证了拓扑结构如何被分析结构所“固化”。 第九章：模空间与无穷维几何 作为全书的展望部分，本章探讨了黎曼面的“空间”——模空间（Moduli Space）的概念。我们将稳定地构造出具有特定拓扑结构（如亏格 $g$）的黎曼面的“空间”，并讨论其拓扑性质。通过引入Teichmüller 空间，我们展示了如何使用无穷维的几何工具来参数化曲面上的共形结构，从而将全书的主题提升到现代微分几何和代数几何的研究前沿。 总结与特色 本书的特色在于其内在的统一性：它并非简单地将拓扑和复分析分述，而是全程追踪一个核心思想——几何结构如何通过分析工具被量化和分类。通过对微分形式、共形映射、高斯曲率和上同调群的细致处理，读者将掌握分析工具与拓扑不变量之间不可分割的联系，为进一步深入学习代数几何、规范场论或低维拓扑学打下坚实而独特的数学基础。全书配有大量精心设计的例题和习题，旨在巩固理论，培养读者进行几何直觉与严格分析相结合的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度令人印象深刻，它似乎并不满足于仅仅停留在基础概念的介绍，而是巧妙地将读者引向了更前沿的研究领域。在一些特定的章节中，作者深入探讨了一些经典理论在现代数学分支中的应用和影响，这极大地拓宽了我的视野。我发现自己不仅掌握了“如何做”，更明白了“为什么会是这样”，以及它在整个数学体系中的地位。这种理论深度带来的思维冲击，让我意识到，真正的学习不是记住公式，而是理解背后的思想脉络，而这本书正是这样一本引导思想的书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计实在太吸引人了，拿到手的时候，我就被封面上那种沉稳又不失深邃的色彩搭配给迷住了。纸张的质感也非常棒，摸起来有一种温润的触感，翻页的时候几乎听不到那种廉价的摩擦声，这对于一本学术性的著作来说，简直是一种享受。书脊的烫金字体清晰有力，排版也极为考究，字里行间都透露出一种严谨的气息。看着这些精心打磨的细节，我不禁对内部的内容充满了期待，感觉这不仅仅是一本书，更像是一件艺术品，放在书架上都是一种点缀。作者在细节上的用心，真的让阅读体验提升了一个档次，让人愿意花更多的时间去品味其中的每一个文字。

评分☆☆☆☆☆

从一个长期关注学术出版的读者的角度来看，这本著作的出版质量简直是行业标杆。校对工作做得极其到位，我翻阅了几个关键的定理证明，愣是没有发现一个可以指摘的印刷错误或者符号混淆。这在专业数学书籍中是相当难得的，因为任何一个微小的疏漏都可能导致整个证明链条的断裂。北京大学出版社的出品，果然名不虚传，他们对学术严谨性的坚持，真正体现了对读者智力成果的尊重。这种高标准的制作，使得我完全可以将注意力集中在理解内容本身，而不是去纠结于那些低级的排版或印刷失误。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对该领域有长期学习规划的人来说，这本书的价值在于其长远的参考性。它不是那种读完一遍就束之高阁的快餐读物，而是一本值得反复翻阅、常备案头的工具书和思想库。书中的一些关键引理和定理的阐述方式，已经成为了我未来构建知识体系时的重要参照点。我确信，在接下来的几年里，当我深入研究更复杂的课题时，我一定会一次又一次地回到这本书中，寻找最初的、最纯粹的数学灵感和严谨的逻辑起点。它为我未来的学术探索奠定了一个无比坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容结构简直是一次数学思维的绝妙引导，作者对于抽象概念的阐述，简直是化繁为简的大师手笔。我过去在理解某些高深理论时总是感觉像在迷雾中摸索，但这本书的叙述逻辑清晰得令人赞叹，每一步的推导都如同构建一座精密的数学大厦，地基扎实，结构稳固。特别是它引入新概念时的铺垫和比喻，非常贴合直觉，让人能够迅速抓住核心要害，而不是被一堆复杂的符号和公式吓倒。读完一个章节后，我感觉自己的数学直觉得到了极大的锻炼和提升，那种豁然开朗的感觉，是其他任何教材都无法给予的。