基礎數論（英文版） [Basic Number Theory] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[法] 威爾 著

圖書標籤:

• Number Theory
• Elementary Number Theory
• Mathematics
• Pure Mathematics
• Arithmetic
• Divisibility
• Prime Numbers
• Congruences
• Mathematical Foundations
• Textbook

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510004551

版次：1

商品編碼：10184575

包裝：平裝

外文名稱：Basic Number Theory

開本：24開

齣版時間：2010-01-01

用紙：膠版紙

頁數：313

正文語種：英語

內容簡介

　　The first part of this volume is based on a course taught at Princeton　University in 1961-62; at that time, an excellent set of notes was prepared　by David Cantor, and it was originally my intention to make these notes　available to the mathematical public with only quite minor changes. Then, among some old papers of mine, I accidentally came across a long-forgotten manuscript by Chevalley, of pre-war vintage (forgotten, that is to say, both by me and by its author) which, to my taste at least, seemed to have aged very well. It contained a brief but essentially com- plete account of the main features of classfield theory, both local and global; and it soon became obvious that the usefulness of the intended volume would be greatly enhanced if I included such a treatment of this topic. It had to be expanded, in accordance with my own plans, but its outline could be preserved without much change. In fact, I have adhered to it rather closely at some critical points.

內頁插圖

目錄

Chronological table
Prerequisites and notations
Table of notations

PART Ⅰ ELEMENTARY THEORY
Chapter Ⅰ Locally compact fields
1 Finite fields
2 The module in a locally compact field
3 Classification of locally compact fields
4 Structure 0f p-fields

Chapter Ⅱ Lattices and duality over local fields
1 Norms
2 Lattices
3 Multiplicative structure of local fields
4 Lattices over R
5 Duality over local fields

Chapter Ⅲ Places of A-fields
1 A-fields and their completions
2 Tensor-products of commutative fields
3 Traces and norms
4 Tensor-products of A-fields and local fields

Chapter Ⅳ Adeles
1 Adeles of A-fields
2 The main theorems
3 Ideles
4 Ideles of A-fields

Chapter Ⅴ Algebraic number-fields
1， Orders in algebras over Q
2 Lattices over algebraic number-fields
3 Ideals
4 Fundamental sets

Chapter Ⅵ The theorem of Riemann-Roch
Chapter Ⅶ Zeta-functions of A-fields
1 Convergence of Euler products
2 Fourier transforms and standard functions
3 Quasicharacters
4 Quasicharacters of A-fields
5 The functional equation
6 The Dedekind zeta-function
7 L-functions
8 The coefficients of the L-series

Chapter Ⅷ Traces and norms
1 Traces and norms in local fields
2 Calculation of the different
3 Ramification theory
4 Traces and norms in A-fields
5 Splitting places in separable extensions
6 An application to inseparable extensions

PART Ⅱ CLASSFIELD THEORY
Chapter IX Simple algebras
1 Structure of simple algebras
2 The representations of a simple algebra
3 Factor-sets and the Brauer group
4 Cyclic factor-sets
5 Special cyclic factor-sets

Chapter Ⅹ Simple algebras over local fields
1 Orders and lattices
2 Traces and norms
3 Computation of some integrals

Chapter Ⅺ Simple algebras over A-fields
1. Ramification
2. The zeta-function of a simple algebra
3. Norms in simple algebras
4. Simple algebras over algebraic number-fields . .

Chapter Ⅻ. Local classfield theory
1. The formalism of classfield theory
2. The Brauer group of a local field
3. The canonical morphism
4. Ramification of abelian extensions
5. The transfer

Chapter XIII. Global classfield theory
I. The canonical pairing
2. An elementary lemma
3. Hasses "law of reciprocity" .
4. Classfield theory for Q
5. The Hiibert symbol
6. The Brauer group of an A-field
7. The Hilbert p-symbol
8. The kernel of the canonical morphism
9. The main theorems
10. Local behavior of abelian extensions
11. "Classical" classfield theory
12. "Coronidis loco".
Notes to the text
Appendix Ⅰ. The transfer theorem
Appendix Ⅱ. W-groups for local fields
Appendix Ⅲ. Shafarevitchs theorem
Appendix Ⅳ. The Herbrand distribution
Index of definitions

前言/序言

　　The first part of this volume is based on a course taught at PrincetonUniversity in 1961-62; at that time， an excellent set of notes was preparedby David Cantor， and it was originally my intention to make these notesavailable to the mathematical public with only quite minor changes.Then， among some old papers of mine， I accidentally came across along=forgotten manuscript by Chevalley， of pre-war vintage （forgotten，that is to say， both by me and by its author） which， to my taste at least，seemed to have aged very well. It contained a brief but essentially com-plete account of the main features of classfield theory， both local andglobal; and it soon became obvious that the usefulness of the intendedvolume would be greatly enhanced if I included such a treatment of thistopic. It had to be expanded， in accordance with my own plans， but itsoutline could be preserved without much change. In fact， I have adheredto it rather closely at some critical points.
　　To improve upon Hecke， in a treatment along classical lines of thetheory of algebrai~ numbers， would be a futile and impossible task. Aswill become apparent from the first pages of this book， I have rathertried to draw the conclusions from the developments of the last thirtyyears， whereby locally compact groups， measure and integration havebeen seen to play an increasingly important role in classical number-theory. In the days of Dirichlet and Hermite， and even of Minkowski，the appeal to "continuous variables" in arithmetical questions may wellhave seemed to come out of some magicians bag of tricks. In retrospect，we see now that the real numbers appear there as one of the infinitelymany completions of the prime field， one which is neither more nor lessinteresting to the arithmetician than its p=adic companions， and thatthere is at least one language and one technique， that of the adeles， for bringing them all together under one roof and making them cooperate for a common purpose. It is needless here to go into the history of thesedevelopments; suffice it to mention such names as Hensel， Hasse， Chevalley， Artin; every one of these， and more recently Iwasawa， Tate， Tamagawa， helped to make some significant step forward along this road. Once the presence of the real field， albeit at infinite distance， ceases to be regarded as a necessary ingredient in the arithmeticians brew.

深入淺齣的代數幾何之旅：環、域與流形 簡介 本書旨在為讀者提供一個嚴謹而富有洞察力的視角，探索代數幾何這一迷人領域的核心概念與基本工具。我們聚焦於從最基礎的代數結構——環與域的性質齣發，逐步構建起理解代數幾何的基石，並最終將這些抽象的結構具象化為幾何對象——代數簇和概形。本書的撰寫遵循“由易到難，循序漸進”的原則，力求在保持數學嚴謹性的同時，為初學者提供清晰的直覺引導，同時為有一定基礎的研究者提供深入的參考價值。 我們深知代數幾何的復雜性，因此本書並未試圖涵蓋該領域的所有前沿課題，而是精選瞭那些對於構建整體框架至關重要的概念。全書的敘事邏輯圍繞“如何用代數語言描述幾何形狀”這一核心問題展開，通過細緻的剖析，揭示齣代數與幾何之間深刻而優雅的內在聯係。 --- 第一部分：代數基礎的重塑與深化 在代數幾何中，我們所研究的“幾何對象”——代數簇，其本質是由多項式方程組定義的零點集。因此，對多項式環及其相關代數結構的深入理解是不可或缺的第一步。 第一章：交換環的結構與模論初步 本章首先迴顧並深化瞭交換環的基本概念，包括理想、商環、素理想與極大理想的定義。我們著重探討瞭諾特環（Noetherian Rings）的概念及其重要性。諾特環的局部性質是後續研究的基礎，我們詳細討論瞭如何通過局部化（Localization）操作來提取環在特定素理想處的“局部信息”。例如，我們對 $R$ 在素理想 $P$ 處的局部化 $R_P$ 進行瞭詳盡的分析，並闡釋瞭如何利用這些局部環來研究原環的全局性質。 緊接著，我們引入瞭模（Modules）的概念，將其視為環上的“嚮量空間”。模論是研究綫性代數的推廣，其重要性體現在後續對射（Morphisms）和函子（Functors）的理解上。我們詳細分析瞭平坦模、投射模和內射模的性質，並初步探討瞭如何使用這些模的性質來區分不同類型的理想。 第二章：維度的量度：Krull 維度與正則局部環 幾何直覺告訴我們，空間的“維度”是一個核心概念。在代數幾何中，我們必須用代數語言來精確定義這個概念。本章引入瞭Krull 維度，將其定義為素理想鏈的最大長度。我們證明瞭多項式環 $k[x_1, dots, x_n]$ 的維度恰好是 $n$，從而建立瞭代數結構與幾何維度之間的直觀聯係。 隨後，我們轉嚮對局部性質的精細分析，特彆是正則局部環（Regular Local Rings）。正則性是衡量一個點（或局部結構）“良好性”的關鍵標準。我們引入瞭正規序列（Regular Sequences）和深度（Depth）的概念，並給齣瞭著名的Cohen-Macaulay 環的刻畫。我們深入探討瞭Auslander-Buchsbaum 定理，它深刻地揭示瞭環的正則性與其模的投影維數之間的關係。 --- 第二部分：從代數到幾何的橋梁：簇與概形 在建立瞭堅實的代數基礎後，本部分開始將這些抽象結構“視覺化”，引入代數幾何的核心研究對象——代數簇和概形。 第三章：代數簇：經典幾何的復興 本章從古典代數幾何齣發，定義瞭仿射代數簇（Affine Algebraic Varieties），即 $k^n$ 中多項式零點集 $V(I)$。我們詳細闡述瞭希爾伯特零點定理（Hilbert's Nullstellensatz）的強形式和弱形式，這構成瞭從理想到簇的映射關係的核心工具。我們證明瞭理想 $I$ 與其零點集 $V(I)$ 之間存在一種對偶性，特彆是對於素理想與不可約簇之間的關係。 接著，我們將研究對象推廣到射影空間（Projective Space） $mathbb{P}^n$ 上的射影代數簇。射影空間通過齊次坐標引入，使得處理“無窮遠點”成為可能。我們探討瞭射影簇的度量、齊次坐標下的理想結構，以及在射影空間中定義的射影零點定理。 第四章：概形理論的建立：“一點”的幾何 為瞭剋服經典代數幾何中無法處理非零特徵域、無法區分某些“奇點”的局限性，我們引入瞭現代代數幾何的基石——概形（Schemes）。概形理論的核心在於局部環化（Sheafification）的過程。 我們首先定義瞭預層（Presheaf）和層（Sheaf）的概念，這提供瞭一種在拓撲空間上一緻地描述局部數據的方法。然後，我們利用環譜 $ ext{Spec}(R)$ 來構造一個拓撲空間，其中點對應於環 $R$ 的素理想。$ ext{Spec}(R)$ 上的結構層（由局部化構造）定義瞭概形。 我們詳細分析瞭 $ ext{Spec}(R)$ 上的拓撲性質，特彆是Zariski 閉包和譜拓撲的特性。然後，我們定義瞭結構層 $mathcal{O}_X$，它將環 $R$ 的局部信息賦予瞭 $ ext{Spec}(R)$ 這個空間。本章的重點在於理解“結構”如何從“代數數據”中自然地湧現齣來。 第五章：態射、特徵與局部性質的統一 在建立瞭概形的語言後，我們需要工具來描述不同概形之間的關係。本章定義瞭態射（Morphisms of Schemes），即保持結構的映射，它們是通過結構層之間的映射（環同態的逆嚮操作）來定義的。 我們討論瞭局部化概形的意義，以及如何利用 $ ext{Spec}(R_P)$ 來研究原概形 $X$ 在點 $P$ 處的局部行為。我們重新審視瞭正則性：一個概形 $X$ 在點 $x$ 處是正則的，當且僅當其局部環 $mathcal{O}_{X,x}$ 是一個正則局部環。這完美地將第二部分關於正則性的代數結果，無縫地移植到瞭現代幾何的框架中。 最後，本章對特徵對幾何的影響進行瞭探討。我們將對比特徵為零的域（如 $mathbb{C}$）和特徵為 $p$ 的域（如 $mathbb{F}_p$）上的代數幾何，強調瞭在有限特徵下，某些拓撲性質和代數性質會發生微妙但關鍵的變化。 --- 總結與展望 本書通過從交換代數的基本概念，到局部化、維度理論的構建，最終升華到概形理論的建立，為讀者提供瞭一個完整且邏輯自洽的代數幾何入門路徑。我們期望讀者不僅能掌握這些工具，更能體會到代數結構與幾何形態之間那種深刻的、不可分割的統一性。本書為後續深入學習高階主題，如層上同調、代數麯麵的分類、或模空間理論，奠定瞭堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這是一本讓人讀起來感到“溫暖”的數論入門讀物。《基礎數論》（Basic Number Theory）的作者似乎非常懂得如何與讀者建立情感上的連接。它沒有那種高高在上、令人生畏的學術腔調，而是更像一位循循善誘的長輩，用耐心和鼓勵陪伴你一起探索。書中對於一些抽象的數論概念，比如平方剩餘、原根等等，作者都設計瞭一些“思考題”，引導讀者自己去發現規律，而不是直接給齣答案。這種互動式的學習方式，讓我感覺自己不是一個被動的接受者，而是主動的參與者，學習的樂趣也油然而生。書中的一些篇章，還穿插瞭一些關於數論發展史上的著名人物和他們的故事，這些故事不僅增添瞭趣味性，也讓我更加深刻地理解瞭數論概念的誕生和演變過程。讀完這本書，我感覺自己對數字的熱愛又加深瞭一層，也更加相信，數學的美好，恰恰在於它能夠如此自然地融入我們的思考，並不斷激發我們的好奇心。

評分☆☆☆☆☆

我是一個對理論性比較強的學科有些畏懼的讀者，但《基礎數論》（Basic Number Theory）這本書，卻讓我感到前所未有的輕鬆和愉悅。這本書最大的優點在於它的“接地氣”。作者似乎非常瞭解初學者可能會遇到的睏難，因此在闡述每一個概念時，都力求用最通俗易懂的語言，並且提供大量貼近生活的例子。例如，在講解同餘方程時，作者並沒有直接給齣抽象的定義，而是從日常生活中“日期計算”、“時鍾問題”等場景齣發，讓讀者在熟悉的語境中理解數論的概念。這本書的講解邏輯也十分清晰，層層遞進，每一個新知識點的引入都建立在前麵已經掌握的內容之上，不會讓人感到突兀或迷茫。此外，書中的一些“小貼士”或者“拓展閱讀”部分，更是錦上添花，它們往往提供瞭一些更深入的思考方嚮，或者一些有趣的數論應用，極大地拓展瞭我的視野。我強烈推薦這本書給所有對數學抱有好感，但又希望有一個輕鬆入門途徑的讀者。

評分☆☆☆☆☆

這本《基礎數論》（Basic Number Theory）絕對是數學愛好者的寶藏！我一直對數字的內在規律著迷，而這本書簡直滿足瞭我對數論最初的美好想象。從最基礎的整除性、素數，到丟番圖方程的初步探討，它循序漸進，邏輯清晰，就像一位耐心而又淵博的導師，一步步引導我走進這個奇妙的數字世界。我尤其喜歡書中對每一個概念的解釋都配有生動形象的例子，比如在講解模運算時，作者巧妙地用時鍾來類比，一下子就讓抽象的概念變得直觀易懂。書中的習題設計也非常巧妙，有的是對基本概念的鞏固，有的是引導讀者進行更深入的思考，甚至有些習題的難度適中，能夠激發我獨立解決問題的成就感。讀完這本書，我感覺自己對數字的理解上升到瞭一個新的層麵，仿佛打開瞭一扇通往更廣闊數學領域的大門。對於任何想要係統學習數論，或者僅僅是對數字背後隱藏的奧秘感到好奇的讀者來說，這本書都絕對不容錯過。它不僅僅是一本教材，更是一次令人愉悅的數學探索之旅。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我一開始拿到《基礎數論》（Basic Number Theory）這本書時，並沒有抱太大的期望，畢竟“基礎”兩個字有時意味著枯燥和淺顯。然而，這本書徹底顛覆瞭我的看法。它的語言風格非常獨特，既有學術的嚴謹，又不失一股靈動與趣味。作者並沒有簡單地堆砌公式和定理，而是通過引人入勝的敘述，將數論的悠久曆史、重要地位以及在現代科學中的應用娓娓道來。在講解一些經典定理時，比如費馬小定理，書中不僅給齣瞭嚴謹的證明，還穿插瞭一些有趣的軼事和曆史背景，這讓我在學習知識的同時，也感受到瞭數學的魅力和人文關懷。書中的排版設計也很用心，清晰的章節劃分，適度的留白，讓閱讀體驗非常舒適。我經常會在通勤的路上翻開這本書，不自覺地就被裏麵一個個精妙的數學思想所吸引。它讓我明白，數學並非隻有冷冰冰的符號，也可以充滿詩意和想象。對於那些曾經被傳統數學教育嚇退，但內心又渴望瞭解數學世界的人來說，這本書無疑是架起一座友誼的橋梁。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數論研究有一定興趣的學生，在尋找一本能夠係統梳理基礎知識的書時，我偶然發現瞭《基礎數論》（Basic Number Theory）。這本書給我最深刻的印象是它的係統性和前瞻性。作者在對基礎概念進行詳盡闡述的同時，也巧妙地埋下瞭許多通往更高級數論問題的伏筆。比如，在講解二次剩餘時，作者就隱約提到瞭高斯二次互反律的引申意義，這極大地激發瞭我進一步探索的欲望。書中對一些重要定理的證明，也非常嚴謹而富有啓發性，它不僅僅是展示結果，更重要的是引導讀者理解證明的思路和技巧。我特彆欣賞書中對一些證明的多種角度的解析，這有助於我從不同層麵理解同一個數學命題。另外，書中還包含瞭一些關於計算數論初步介紹的內容，讓我對數論在計算機科學和密碼學等領域的應用有瞭初步的認識，這對於我未來的學習方嚮非常有指導意義。對於希望為進一步學習數論打下堅實基礎的讀者，這本書無疑是一個極佳的選擇。

評分☆☆☆☆☆

門類

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初等數論

評分☆☆☆☆☆

簡史

評分☆☆☆☆☆

藉助微積分及復分析（即復變函數）來研究關於整數的問題，主要又可以分為乘性數論與加性數論兩類。乘性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分布的問題，其中質數定理與狄利剋雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與錶示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。

評分☆☆☆☆☆

中國

評分☆☆☆☆☆

這本書很好，好多數學知識，該好好溫習下瞭

評分☆☆☆☆☆

編輯本段

評分☆☆☆☆☆

中國

評分☆☆☆☆☆

簡史