模與環講義 [Lectures on Modules and Rings] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] 拉姆（T.Y.Lam） 著

圖書標籤:

• 代數
• 抽象代數
• 模論
• 環論
• 數學
• 高等代數
• 講義
• 數學教材
• 代數結構
• 數學分析

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510044182

版次：1

商品編碼：11124549

包裝：平裝

外文名稱：Lectures on Modules and Rings

開本：24開

齣版時間：2012-06-01

用紙：膠版紙

頁數：557

正文語種：英文

內容簡介

《模與環講義》主要內容包括：Free Modules， Projective， and Injective Modules、Flat Modules and Homological Dimensions、More Theory of Modules、Rings of Quotients、More Rings of Quotients、Frobenius and Quasi-Frobenius Rings、Matrix Rings， Categories of Modules， and Morita Theory等七大章。

內頁插圖

目錄

Preface
Notes to the Reader
Partial List of Notations
Partial List of Abbreviations

1 Free Modules， Projective， and Injective Modules
1. Free Modules
1A. Invariant Basis Number （IBN）
1B. Stable Finiteness
1C. The Rank Condition
1D. The Strong Rank Condition
1E. Synopsis
Exercises for 1
2. Projective Modules
2A. Basic Definitions and Examples
2B. Dual Basis Lemma and Inveriible Modules
2C. Invertible Fraaional Ideals
2D. The Picard Group of a Commutative Ring
2E. Hereditary and Semihereditary Rings
2F. Chase Small Examples
2G. Hereditary Artinian Rings
2H. Trace Ideals
Exercises for 2
3. Injective Modules
3A. Baer's Test for Injectivitv
3B. Self-Iniective Rings
3C. Injectivity versus Divisibility
3D. Essential Extensions and Injective Hulls
3E. Injectives over Right Noetherian Rings
3F. Indecomposable Injectives and Uniform Modules
3G. Injectives over Some Artinian Rings
3H. Simple Injcctives
3I. Matlis' Theory
3J. Some Computations oflnjective Hulls
3K. Applications to Chain Conditions
Exercises for 3

2 Flat Modules and Homological Dimensions
4. Flat and Faithfully Flat Modules
4A. Basic Properties and Flatness Tests
4B. Flatness， Torsion-Freeness， and von Neumann Regularity
4C. More Flatness Tests
4D. Finitely Presented （f.p.） Modules
4E. Finitely Generated Flat Modules
4F. Direct Products of Flat Modules
4G. Coherent Modules and Coherent Rings
4H. Semihereditary Rings Revisited
4I. Faithfully Flat Modules
4J. Pure Exact Sequences
Exercises for 4
5. Homological Dimensions
5A. Schanuel's Lemma and Projective Dimensions
5B. Change of Rings
5C. Injectivc Dimensions
5D. Weak Dimensions of Rings
5E. Global Dimensions of Semiprimary Rings
5F. Global Dimensions of Local Rings
5G. Global Dimensions ofCommutative Noetherian Rings
Exercises for 5

3 More Theory of Modules
4 Rings of Quotients
5 More Rings of Quotients
6 Frobenius and Quasi-Frobenius Rings
7 Matrix Rings， Categories of Modules， and Morita Theory
References
Name Index
Subject Index

前言/序言

《代數的宇宙：從基礎到前沿的探索》 這是一部旨在引領讀者深入探索抽象代數精彩世界的指南。本書跳齣瞭單一課程講義的框架，以更加宏觀的視角，勾勒齣代數結構之間錯綜復雜的聯係，並追溯其在現代數學和科學中的深刻影響。我們不隻是學習定義和定理，更是要理解它們為何如此重要，以及它們如何構建起我們對數學本質的認知。 第一部分：代數結構的基石——群與環的起源與演進 在展開對模與環的深入討論之前，我們有必要迴顧一下它們在代數譜係中的“祖輩”——群與環。群論的起源可以追溯到19世紀初，以解決代數方程的根式可解性問題為起點。拉格朗日、高斯、伽羅瓦等巨匠的開創性工作，逐步揭示瞭置換群的結構，並由此發展齣群論的宏偉體係。本書將從群的基本概念入手，如子群、陪集、正規子群、同態和同構，帶領讀者理解群如何描述對稱性、變換以及群在數論、幾何學和密碼學等領域的應用。我們將探討有限群的結構定理，例如西羅定理，以及無限群的一些重要性質，從而為後續的抽象代數學習打下堅實的基礎。 與此同時，環論的發展則與數論和代數幾何緊密相連。費馬大定理的證明、代數數域的理論發展，都催生瞭對整環、理想等概念的思考。本書將介紹環的基本概念，包括加法和乘法運算的性質，單位元、零因子、可逆元等關鍵元素。我們將深入研究交換環的結構，重點關注理想的概念，理解其在環分解和性質傳遞中的核心作用。素理想、極大理想的引入，將帶領讀者領略代數幾何中簇的研究方法，以及數論中理想類群的深刻思想。本書還會探討一些重要的特殊環，例如域（Field）——作為所有綫性代數和域論的根基，以及多項式環、矩陣環等，展示代數結構的多樣性。 第二部分：模的誕生——從嚮量空間到更一般的結構 模（Module）作為綫性代數中嚮量空間的推廣，是連接群論和環論的關鍵橋梁。嚮量空間可以被看作是域上的模，而環上的模則將這種綫性結構的概念擴展到瞭更廣泛的代數背景下。本書將詳細闡述模的基本定義與性質。我們將從模的加法、標量乘法（由環的元素作為標量）開始，逐步引入子模、模同態、模同構等概念。 理解模的核心在於理解“作用”在模上的環的元素。我們將通過具體的例子，例如整數環$mathbb{Z}$上的模，展示如何將熟悉的數集（如整數、有理數）看作是$mathbb{Z}$上的模。接著，我們將深入研究有限生成模，探討其結構分解定理，特彆是關於主理想整環（PID）上的模的分類。這將涉及到自由模、撓模、撓自由模等重要概念，以及扭轉子（torsion submodule）和永不扭轉部分（torsion-free part）的分解。 本書將重點關注自由模與有限生成模的性質。自由模類似於嚮量空間，其元素可以由一組基綫性錶示。我們將討論自由模的秩（rank），並將其與嚮量空間的維度進行類比。對於有限生成模，我們將探索其更精細的結構，例如不可約模、擬射模（injective module）和射影模（projective module）等，這些概念在代數拓撲、同調代數等領域扮演著至關重要的角色。 第三部分：環的深度——理想、模與結構的精妙 在引入模的概念之後，我們得以用更精妙的視角重新審視環的結構。環上的模的研究，反過來也極大地豐富瞭我們對環本身的理解。本書將進一步深入探討環的內部結構，特彆是通過理想與模的相互作用來揭示其奧秘。 我們將重溫理想的概念，並從模的角度來理解理想。一個環$R$的左理想（或右理想）可以被看作是$R$自身作為左（或右）$R$-模的子模。這種視角使我們能夠運用模論的工具來研究理想的性質，例如主理想、極大理想、素理想等。我們將探討降鏈條件（descending chain condition, DCC）和升鏈條件（ascending chain chain condition, ACC）對環和模結構的影響，從而引齣諾特環（Noetherian ring）和阿廷環（Artinian ring）等重要範疇。 本書將詳細介紹諾特環的性質。諾特環是許多代數研究的“標準”對象，包括多項式環、代數數域的整數環等。我們將討論諾特環的刻畫，例如升鏈條件等價於每個子模都有限生成。諾特環上的有限生成模也具有非常好的結構，我們將探討其關於子模塊和商模的分解。 此外，我們將探討阿廷環及其上的模。阿廷環具有降鏈條件，並且其上的所有模都是有限生成模。阿廷環的結構非常“緊湊”，我們將介紹莫裏塔等價（Morita equivalence）等概念，它們揭示瞭不同環上的模範疇之間深刻的聯係。 第四部分：進階理論與前沿應用 在構建瞭紮實的模與環理論基礎之後，本書將帶領讀者探索一些更高級的理論及其在現代數學和科學中的應用。 同調代數（Homological Algebra）：同調代數是研究代數結構（特彆是模）的“同調不變量”的理論。我們將簡要介紹鏈復形、同調群、導齣函子（如Ext函子和Tor函子）等基本概念。這些工具對於理解模的結構、刻畫環的性質以及研究代數拓撲中的同調論至關重要。 錶示論（Representation Theory）：錶示論研究抽象代數結構（如群、代數）如何在嚮量空間上“錶示”齣來，即通過綫性變換來實現。我們將探討有限群的錶示論，以及代數代數（algebraic algebra）的錶示論，這些理論在粒子物理、量子力學等領域有著廣泛的應用。 代數幾何（Algebraic Geometry）：代數幾何研究多項式方程組的解集，其本質是將幾何對象與代數結構（特彆是環和模）聯係起來。我們將介紹代數簇、理想與簇之間的對應關係，以及概形（scheme）等更抽象的概念，它們是現代代數幾何的基石。 代數數論（Algebraic Number Theory）：代數數論研究代數數域的性質，如其整數環的結構，理想的分解等。本書將展示模與環的理論如何應用於理解代數整數的性質，例如整環上的模論在研究代數數域的類群、單位群等問題中的作用。 總結： 《代數的宇宙：從基礎到前沿的探索》旨在提供一個全麵且富有洞察力的代數學習體驗。我們不僅會嚴謹地掌握模與環的基本定義和定理，更會深入理解它們之間的聯係，以及它們如何在廣闊的代數天地中扮演著至關重要的角色。本書通過對抽象概念的細緻講解，結閤豐富的例子和對前沿應用的展望，緻力於激發讀者對抽象代數的興趣，並為其進一步深入研究奠定堅實的基礎。這是一次關於結構、對稱性、以及數學本質的深刻旅程，邀請每一位對數學之美充滿好奇的讀者一同探索。

評分☆☆☆☆☆

在閱讀這本書的過程中，我常常會停下來，去迴想自己之前學過的那些零散的代數知識。我開始意識到，原來那些看似獨立的數學概念，在模與環的框架下，竟然能夠找到如此精妙的聯係。這就像是在一個龐大的城市裏，我之前可能隻看到瞭零散的幾棟建築，而現在，我終於看到瞭貫穿這些建築的街道、河流，甚至整個城市的規劃圖。這種從局部到整體的飛躍，讓我感到無比的震撼和興奮，也讓我對數學這門學科産生瞭全新的敬畏之情。

評分☆☆☆☆☆

總而言之，盡管我還沒有完全消化《模與環講義》中的所有內容，但這段閱讀經曆已經極大地拓展瞭我的數學視野，也深刻地改變瞭我對數學的看法。它讓我看到瞭代數世界的廣闊與深邃，也激發瞭我繼續探索更多數學奧秘的興趣。我期待著未來能夠繼續在這條道路上前進，去理解更多更精彩的數學思想，去感受數學之美。

評分☆☆☆☆☆

在我閱讀這本書之前，我對“抽象”這個詞的理解，更多的是停留在一種模糊的、難以把握的層麵。但通過《模與環講義》，我開始體會到抽象數學的魅力。它不是憑空捏造，而是從具體的數學對象中提煉齣共性的本質，形成一種更普遍、更強大的理論框架。這種從具體到抽象，再從抽象迴歸到理解更廣泛的具體，是一種非常有力量的學習過程，讓我看到瞭數學的生命力和創造力。

評分☆☆☆☆☆

我記得有一次，當我試圖理解某個模的性質時，我突然聯想到瞭之前學習的綫性代數中的嚮量空間。那一刻，我恍然大悟，原來嚮量空間本身就可以看作是一種特殊的模，而模的理論則為嚮量空間提供瞭更一般、更深刻的視角。這種跨領域的聯想，讓我體會到瞭數學的統一性，也讓我更加深刻地理解瞭為什麼數學傢們會不斷地追求更抽象、更普適的理論，因為隻有這樣，纔能將看似不同的數學對象納入同一個框架下進行研究，從而發現更深層次的規律。

評分☆☆☆☆☆

在我翻開《模與環講義》的扉頁之前，我對代數幾何和抽象代數領域的認識，就像一個初涉迷宮的孩子，小心翼翼地摸索著牆壁，偶爾能辨認齣一些基本的形狀，但對於整個宏大的結構，卻是一知半解。我最開始接觸到的，可能是一些更具象化的代數概念，比如多項式方程的解，或者是一些群論的基礎知識，那些東西就像是一塊塊色彩鮮艷的積木，能夠清晰地勾勒齣一些輪廓，但始終缺乏一種將它們有機聯係起來的內在邏輯，更不用說那種深邃的、觸及本質的理解瞭。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字《模與環講義》本身就帶有一種莊嚴和深奧的氣息，仿佛指嚮著一個更加抽象、更加普適的數學世界。我當時充滿瞭期待，也帶著一絲忐忑，不知道自己能否跟上作者的思路，能否在這片未知的領域裏找到自己的立足之地。我腦海中浮現的，是無數的數學符號在紙上跳躍，是那些抽象概念如雲霧般環繞，難以捉摸。我渴望能夠撥開這層迷霧，看到數學結構背後隱藏的美麗，能夠從更宏觀的角度去理解那些分散的知識點。

評分☆☆☆☆☆

有時候，我也會感到迷茫，尤其是在遇到一些特彆抽象或復雜的證明時。我需要反復閱讀，甚至暫時放下書本，去思考其他相關的概念，然後再迴過頭來。這種“迂迴”的閱讀方式，雖然增加瞭時間和精力上的投入，但往往能夠帶來意想不到的收獲，讓我對某個知識點的理解更加深入和牢固。我開始明白，數學的學習從來都不是一蹴而就的，而是需要耐心和毅力，需要不斷地剋服睏難，纔能最終抵達知識的彼岸。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘述方式，有時會讓我覺得我仿佛置身於一個古老的圖書館，一位博學的智者正緩緩地嚮我講述著數學的奧秘。那些定理、定義，如同精心打磨的寶石，被小心翼翼地呈現在我麵前。我需要花費大量的時間去咀嚼、去品味，去理解它們所蘊含的深刻意義。有時，一個簡單的定義，背後可能就隱藏著一個精巧的構造，需要我仔細地去探究它的來龍去脈，纔能真正領會其中的妙處。

評分☆☆☆☆☆

我還會經常將書中的概念與現實世界進行類比，盡管這種類比可能並不完全精確，但卻能幫助我更好地理解那些抽象的數學思想。比如，當我思考某個理想的性質時，我可能會把它想象成一種“不可分割的”或“封閉的”集閤，就像化學中的元素一樣，它們有自己的屬性，並且在某些操作下保持不變。這種嘗試將抽象概念具體化的努力，雖然有時會顯得笨拙，但確實是我加深理解的一種重要途徑。

評分☆☆☆☆☆

閱讀《模與環講義》的過程，也伴隨著大量的思考和自我挑戰。我經常會在腦海中構建各種各樣的例子，去驗證書中的定理是否適用於這些例子，或者去思考定理的條件是否能夠被放鬆。這種主動探索的過程，讓我不僅僅是被動地接受知識，而是積極地參與到數學的構建過程中，仿佛自己也成瞭一個小小的數學研究者。

評分☆☆☆☆☆

哈哈哈

評分☆☆☆☆☆

超級經典，超級經典，超級經典！

評分☆☆☆☆☆

作為一般性的物理專業經典力學教材尚可，但有些地方略有不足，需朗道《力學》那樣的精品來補充營養。

評分☆☆☆☆☆

原版的，很清晰的，好書，推薦的

評分☆☆☆☆☆

模與環講義學習用書，好。

評分☆☆☆☆☆

不錯的教材挺基礎的。

評分☆☆☆☆☆

作為一般性的物理專業經典力學教材尚可，但有些地方略有不足，需朗道《力學》那樣的精品來補充營養。

評分☆☆☆☆☆

模與環講義學習用書，好。

評分☆☆☆☆☆

原版的，很清晰的，好書，推薦的