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彭翕成编著 著

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出版社： 中国科学技术大学出版社有限责任公司

ISBN：9787312037924

商品编码：25570381152

出版时间：2017-01-01

从初等数学到高等数学 作  者:彭翕成 编著 定  价:36 出 版 社:中国科学技术大学出版社有限责任公司 出版日期:2017年01月01日 页  数:241 装  帧:平装 ISBN:9787312037924 ●前言
●1一题多解架构初等、高等数学桥梁
●1.1代数
●1.2几何
●1.3三角
●1.4不等式
●1.5杂题
●2初等数学问题高等数学解答
●2.1代数
●2.2几何
●2.3三角
●2.4不等式
●2.5杂题
●3不等式与函数
●3.1不等式篇
●3.1.1均值不等式的引入和证明
●3.1.2从课本上的简单不等式谈起——从初等数学到高等数学
●3.1.3小学题？中学题？大学题？
●3.1.4解读神证明
●3.1.5也说Nesbitt不等式
●部分目录

内容简介

① 本书是希望在中学数学和高等数学之间搭一座桥梁.以中学数学为起点，逐步展示高等数学的基本思想和方法，便于大学新生快速适应高度抽象的高等数学.反过来，介绍如何把握高等数学的高观点，更好地服务于中学数学的教与学.
② 本书用数学分析、线性代数和高等几何等现代数学的思想方法解释和理解中学数学，力求用通俗易懂的语言，深入浅出地揭示现代数学的思想方法，找出现代数学与中学数学的结合点，从高观点来初等数学，指导中学数学教学.
③ 本书案例翔实，思想新颖，方法简明，可启迪读者的思维，开阔读者的视野，增强读者提出问题、分析问题与解决问题的能力，适合高中学生、教师、师范生，以及数学教育研究者参考.
彭翕成 编著 彭翕成，1982年生，硕士，华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心工程师。湘教版数学教科书编委，《十万个为什么》编委。

图书简介：数学的严谨之旅——逻辑、结构与应用探析 本书并非《从初等数学到高等数学第1卷》的续篇或姊妹篇，而是一部立足于数学基础的严谨性、逻辑结构与跨学科应用的独立著作。它旨在为读者提供一个审视数学核心概念、理解其内在联系以及探究其在现代科学和工程领域中作用的全新视角。本书的叙事主线是围绕数学的“思维方式”展开，而非简单的知识点罗列或解题技巧传授。 第一部分：数学的本质与逻辑基石 本卷的开篇聚焦于数学的哲学根源与严谨性构建。我们深入探讨了什么是数学证明，追溯了从古希腊公理化体系（如欧几里得几何）到现代集合论基础（如ZFC公理系统）的演变历程。读者将跟随作者的步伐，审视集合论的悖论如何推动了数学基础的重建，以及形式逻辑在数学推理中所扮演的不可或缺的角色。 1.1 概念的精确化与形式化： 本章详细分析了数学语言的精确性要求。我们区别了日常语言中的“模糊性”与数学符号系统中的“唯一性”。通过对“数”、“量”、“结构”等基本概念的追本溯源，阐明了为何数学必须依赖于严格的定义和无可辩驳的逻辑链条才能站稳脚跟。特别地，我们将分析数学归纳法作为一种强大的证明工具，如何从初始假设稳步推导出普遍真理。 1.2 模型的构建与抽象思维： 数学强大的力量来源于其抽象能力。本部分将阐述数学模型是如何将复杂的现实世界现象简化为可操作的、可计算的结构。我们将不涉及高等微积分的具体计算，而是侧重于“什么是连续性”、“什么是极限的直觉基础”以及“微分”概念的几何和物理意义的哲学反思。我们探讨了如何通过构造理想化的数学对象（如理想点、拓扑空间）来解决现实中的难题。 1.3 危机与飞跃：非欧几何的冲击： 深入剖析了非欧几里得几何的发现如何动摇了数学知识的“绝对真理”地位，并最终促使数学家更加关注一致性（Consistency）而非实在性（Reality）。这一历史转折点为后续的抽象代数和拓扑学发展奠定了思想基础。 第二部分：结构之美——代数与关系的深入剖析 在确立了逻辑基础后，本书转向对数学核心研究对象的探索：结构。这一部分避开了具体的高等代数计算，转而关注代数系统背后的群论思想和同构映射的概念。 2.1 抽象代数的核心精神： 我们将群（Group）视为最基本的对称性描述工具，而非仅仅是求解方程的工具集。通过分析对称群（如二面体群D3、四元群Q8）的元素、子群和陪集，读者将理解代数结构是如何通过操作规则而非数值本身来定义的。本章强调的是结构之间的同态与同构关系，即不同领域的问题在深层结构上可能具有惊人的相似性。 2.2 环与域：运算的交织： 在讨论完群之后，我们自然过渡到拥有两种运算（加法和乘法）的结构——环（Ring）和域（Field）。重点在于理解域的最小化要求，以及为什么在某些领域内（如有限域）数的性质会展现出与实数域截然不同的特性。我们将探讨多项式环上的结构，为后来的抽象代数和数论打下概念基础。 2.3 线性空间的几何直觉： 尽管本书不深入向量微积分，但我们致力于阐明线性代数的几何直觉。本节将线性空间定义为“可以线性组合的对象的集合”，重点讨论基、维数和线性映射对空间的拉伸、旋转和投影作用。我们探讨了变换（Transformation）在保持或改变结构方面的意义，而非仅仅是矩阵乘法的技巧。 第三部分：联系与应用——数学在信息与复杂性中的角色 本卷的第三部分超越了纯数学的内部结构，探讨了数学工具如何服务于对外部世界的理解和信息的高效处理。 3.1 离散数学的基石：图论与网络： 我们将图论视为描述关系（而非量）的语言。本书详细分析了图的连通性、遍历性（如欧拉路径、哈密顿回路的意义）以及树结构在数据组织中的关键作用。重点在于理解网络拓扑结构如何影响信息的流动和效率，这对于理解计算机网络和社交结构至关重要。 3.2 信息论与测度：不确定性的量化： 聚焦于香农信息论中的核心概念：熵。我们不从复杂的概率积分入手，而是从信息论的视角探讨“不确定性”如何被量化。我们阐释了为什么熵代表了信息量的下限，以及编码效率的理论极限。这部分内容强调了数学在处理“不确定性”和“随机性”时所展现的清晰和力度。 3.3 算法思维与可计算性： 在本章的收尾，我们触及了可计算性理论的哲学边界。图灵机模型被用作理解“什么是可以被计算的”的理想机器。我们讨论了决策问题（如停机问题）的不可解性，这揭示了数学知识的内在局限性，同时也定义了计算科学的疆域。 总结： 本书是一次对数学思维的深度巡礼，它强调为什么（逻辑基础、哲学意义）和如何（结构抽象、模型构建），而非仅仅是是什么（具体公式和计算）。它提供了一套严谨的框架，让读者能够以更宏观、更结构化的视角去理解数学——一门关于精确性、结构和普遍真理的语言。这本书是献给所有希望深入理解数学本质、而非仅停留在应用技巧上的求知者的指南。

评分☆☆☆☆☆

这本《从初等数学到高等数学第1卷》真是让人耳目一新！我一直觉得基础数学的概念学起来枯燥乏味，但这本书的编排方式完全颠覆了我的看法。作者似乎非常懂得如何将抽象的理论与实际的应用场景巧妙地结合起来。比如，在讲解微积分的基础概念时，它不是直接抛出公式，而是通过一些生活化的例子，比如计算汽车速度的变化率，来引导我们理解导数的本质。这种循序渐进、润物细无声的教学方法，让我这个数学基础比较薄弱的读者也能轻松跟上节奏。尤其值得称赞的是，书中对严谨性和直观性的平衡拿捏得恰到好处，既保证了数学逻辑的完整性，又避免了陷入繁琐的符号游戏中。读完前几章，我感觉自己对那些过去只停留在“会用”层面的概念，现在有了“理解”的深度，这对于我未来继续深入学习高等数学至关重要。这本书绝对是为那些渴望真正掌握数学思维，而非仅仅应试的学生量身定制的宝典。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的排版和印刷质量也相当不错，这对于需要长时间阅读数学书籍的人来说，是一个加分项。纸张的质感很好，长时间盯着黑白文字也不会有强烈的视觉疲劳感。更重要的是，书中的图表绘制得非常清晰专业，几何图形的比例准确，函数的曲线走势一目了然。在阐述集合论的基本概念或集合运算时，那些 Venn 图和数轴示意图的设计，比我以前看的任何教材都要直观高效。这让我意识到，好的数学教材不仅仅是内容的堆砌，视觉呈现同样是教学效果的关键一环。它让原本可能晦涩难懂的数学结构，通过视觉化的方式变得更容易被大脑吸收和记忆。我强烈建议所有准备进入理工科学习的学子，都应该把这本作为入门工具书，它能帮你打下一个坚实且舒适的认知基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的难度梯度设置得非常巧妙，体现了作者深厚的教学功底。它没有采用那种“一锤子买卖”的教学法，而是贯穿始终地设置了不同层次的练习题。初级的例题旨在巩固新学的定义和基本计算，中等的题目则开始要求综合运用多个章节的知识点进行推理和求解。最让我觉得有价值的是那些“挑战性思考题”——它们往往不是简单的计算，而是引导你去探索某个定理的边界条件，或者尝试用不同的方法来证明同一个结论。这些题目真正考验了读者的数学洞察力。通过解决这些题目，我发现自己不仅仅是在学习知识，更是在锻炼一种数学家的思维模式，学会质疑和探究背后的原理。这比单纯地刷题追求速度和正确率要高明得多，也更符合高等教育对人才的要求。

评分☆☆☆☆☆

我接触过不少号称是“衔接高等数学”的教材，但大多不是过于侧重高中知识的重复梳理，就是直接跳跃到过于复杂的分析学定义，让人望而却步。然而，这本书《从初等数学到高等数学第1卷》在这方面做到了极佳的过渡。它像一座设计精巧的桥梁，稳固地连接了高中阶段的代数、几何与分析学、线性代数的核心思想。我特别欣赏作者在引入极限概念时的处理方式。他们没有急于引入$epsilon-delta$语言的严格定义，而是先通过数列的收敛性、函数图像的趋势等直观描述，建立起对“无限接近”这一核心思想的感性认识，然后再逐步引入更正式的数学语言。这种“先感性，后理性”的路径，极大地降低了初学者的心理门槛，让我感觉高等数学并没有想象中那么高不可攀。对于自我提升或基础巩固来说，这本书的价值是无可替代的。

评分☆☆☆☆☆

我过去总觉得，数学的学习就好像攀登一座陡峭的山峰，需要极强的天赋和毅力才能征服。然而，翻阅《从初等数学到高等数学第1卷》后，我的看法彻底改变了。这本书带来的不是压迫感，而是一种引导式的探索欲。作者的笔触冷静而富有条理，但字里行间又透露出对数学之美的热爱。它更像是一位耐心且博学的向导，在带领你穿越一片迷雾弥漫的数学森林，他不仅告诉你前方的路该怎么走，还会指给你看沿途那些令人惊叹的风景——那些基础理论背后的优雅逻辑。读完之后，我不仅对后续的专业课程充满信心，更重要的是，我开始享受这种逻辑推演和抽象思考的过程。这本书成功地将“不得不学”的枯燥任务，转化为了“主动探索”的乐趣，这才是真正伟大的教材所能达到的境界。